Question

（2003•仙桃）B題（油田考生做）如圖，直線經(jīng)過A（1，0），B（0，1）兩點，點P是雙曲線（x＞0）上任意一點，PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別為M、N，PM、PN的延長線與直線AB分別交于點E、F．
（1）求證：AF•BE=1；
（2）若平行于AB的直線與雙曲線只有一個公共點，求公共點坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可通過構(gòu)建直角三角形來表示出AF，BE的長，過E，F(xiàn)分別作y軸，x軸的垂線，設(shè)垂足為D，C，那么△DBE和△FCA均為等腰直角三角形，因此AF=FC，BE=DE，而DE、FC正好是P點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，由此可得證．
（2）易知直線AB的解析式為y=-x+1，因此可設(shè)所求直線的解析式為y=-x+h，然后聯(lián)立雙曲線的解析式，由于兩函數(shù)只有一個交點，因此得出的方程根的判別式的值為0，由此可求出直線的解析式進(jìn)而可得出公共點的坐標(biāo)．
解答：證明：（1）由直線經(jīng)過A（1，0），B（0，1）兩點，可得AB的解析式為y=-x+1，
過E作ED⊥y軸于D，過F作FC⊥x軸于C，則△FCA和△BDE均為等腰直角三角形．
∴AF=FC，BE=DE
∴AF•BE=2•FC•DE
根據(jù)雙曲線的解析式知：FC•DE=PM•PN=
∴AF•BE=1．

（2）易知：直線AB的解析式為y=-x+1，
因此設(shè)平行AB的直線l的解析式為y=-x+h，
設(shè)兩函數(shù)唯一的公共點Q的坐標(biāo)為（x，y），
則有：，
即2x²-2hx+1=0，且△=4h²-8=0．
∴h=（負(fù)值舍去），
∴x=，y=
∴Q（，）．
點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點以及二次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．