【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,等邊三角形△ABO的邊長為4.
(1)求點A的坐標(biāo).
(2)若點P從點O出發(fā)以每秒1個單位的速度沿x軸正方向運動,運動時間為t秒,△PAB的面積為S,求S與t的關(guān)系式,并直接寫出t的范圍.
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點P在點B的右側(cè)時,若S=,在平面內(nèi)是否存在點Q,使點P、Q、A、B圍成的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點Q坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)A(2,2);(2)當(dāng)0≤t<4時,S=-t+4;當(dāng)t>4時,S=t﹣4;(3)存在, Q的坐標(biāo)為(3,2)或(1,2)或(7,﹣2)
【解析】
(1)利用等邊三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(2)分點P在邊OB和OB的延長線上,利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論;
(3)分三種情況,利用中點坐標(biāo)公式和平行四邊形的對角線互相平分,建立方程求解即可得出結(jié)論.
解:(1)如圖1,過點A作AD⊥x軸于D,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠AOD=60°,OD=OB=2,
在Rt△AOD中,AD=OD=2,
∴A(2,2);
(2)由運動知,OP=t,
當(dāng)0≤t<4時,如圖2,BP=OB﹣OP=4﹣t,
∴S=S△ABP=BPAD=(4﹣t)×2=﹣t+4,
當(dāng)t>4時,如圖3,BP=OP﹣OB=t﹣4,
∴S=S△ABP=BPAD4=(t﹣4×2=t﹣4;
(3)由(2)知,點P在點B右側(cè)時,t>4,S=t﹣4,
∵S=,
∴t﹣4=,
∴t=5,
∴P(5,0),
∵等邊△ABC的邊長為4,
∴B(4,0),
∵A(2,2),設(shè)Q(m,n),
∵使點P、Q、A、B圍成的四邊形是平行四邊形,
∴①當(dāng)AP為對角線時,
∴AP與BQ互相平分,
∴(2+5)=(4+m),(2+0)=(0+n),
∴m=3,n=2,
∴Q(3,2),
②當(dāng)AB為對角線時,∴AB與PQ互相平分,
∴(2+4)=(5+m),(2+0)=(0+n),
∴m=1,n=2,
∴Q(1,2),
③當(dāng)BP為對角線時,∴BP與AQ互相平分,
∴(4+5)=(2+m),(0+0)=(2+n),
∴m=7,n=﹣2,
∴Q(7,﹣2),
即:滿足條件的點Q的坐標(biāo)為(3,2)或(1,2)或(7,﹣2).
故答案為:(1)A(2,2);(2)當(dāng)0≤t<4時,S=-t+4;當(dāng)t>4時,S=t﹣4;(3)存在, Q的坐標(biāo)為(3,2)或(1,2)或(7,﹣2).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在邊長為3的等邊中,點從點出發(fā)沿射線方向運動,速度為1個單位/秒,同時點從點出發(fā),以相同的速度沿射線方向運動,過點作交射線于點,連接交射線于點.
(1)如圖1,當(dāng)時,求運動了多長時間?
(2)如圖1,當(dāng)點在線段(不考慮端點)上運動時,是否始終有?請說明理由;
(3)如圖2,過點作,垂足為,當(dāng)點在線段(不考慮端點)上時,的長始終等于的一半;如圖3,當(dāng)點運動到的延長線上時,的長是否發(fā)生變化?若改變,請說明理由;若不變,求出的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=6米,BC=8米,動點P以2米/秒得速度從A點出發(fā),沿AC向C移動,同時,動點Q以1米/秒得速度從C點出發(fā),沿CB向B移動。當(dāng)其中有一點到達終點時,他們都停止移動,設(shè)移動的時間為t秒。
(1)求△CPQ的面積S(平方米)關(guān)于時間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在P、Q移動的過程中,當(dāng)△CPQ為等腰三角形時,求出t的值;
(3)以P為圓心,PA為半徑的圓與以Q為圓心,QC為半徑的圓相切時,求出t的值。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)現(xiàn)有學(xué)生2650人,學(xué)校為了進一步了解學(xué)生課余生活,組織調(diào)查各興趣小組活動情況,為此校學(xué)生會進行了一次隨機抽樣調(diào)查,根據(jù)采集到的數(shù)據(jù),繪制如下兩個統(tǒng)計圖(不完整)
請你根據(jù)兩個統(tǒng)計圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)這次抽樣調(diào)查的樣本容量是多少?在圖2中,請將條形統(tǒng)計圖中的“體育”部分的圖形補充完整;
(2)愛好“書畫”的人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的百分?jǐn)?shù)是多少?估計該中學(xué)現(xiàn)有的學(xué)生中,愛好“書畫”的人數(shù);
(3)求愛好“音樂”的人數(shù)對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四邊形ABCD中,點E為AB邊上的一點,點F為對角線BD上的一點,且EF⊥AB.
(1)若四邊形ABCD為正方形.
①如圖1,請直接寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系 ;
②將△EBF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置,連接AE,DF,猜想AE與DF的數(shù)量關(guān)系并說明理由.
(2)若四邊形ABCD為矩形,BC=mAB,其他條件都不變.
①如圖3,猜想AE與DF的數(shù)量關(guān)系并說明理由;
②將△EBF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)得到△E′BF′,連接AE′,DF′,請在圖4中畫出草圖,并直接寫出AE′和DF′的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是線段AB上的一點(不與A、B重合).過點B作BE⊥CD,垂足為E.將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn),得到線段CF,連結(jié)EF.設(shè)∠BCE度數(shù)為.
(1)①補全圖形;
②試用含的代數(shù)式表示∠CDA.
(2)若 ,求的大。
(3)直接寫出線段AB、BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx﹣2與x軸交于點A(﹣1,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C,經(jīng)過點B的直線交y軸于點E(0,2).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)如圖2,過點A作BE的平行線交拋物線于另一點D,點P是拋物線上位于線段AD下方的一個動點,連結(jié)PA,EA,ED,PD,求四邊形EAPD面積的最大值;
(3)如圖3,連結(jié)AC,將△AOC繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)中的三角形為△A′OC′,在旋轉(zhuǎn)過程中,直線OC′與直線BE交于點Q,若△BOQ為等腰三角形,請直接寫出點Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點A(m,2),B(2,n).過點A作AC平行于x軸交y軸于點C,在y軸負(fù)半軸上取一點D,使OD=OC,且△ACD的面積是6,連接BC.
(1)求m,k,n的值;
(2)求△ABC的面積.
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