如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點為P(1,-2),且經(jīng)過點A(-3,6),并與x軸交于點B和C.
作業(yè)寶
(1)求這個二次函數(shù)的解析式,并求出點C坐標(biāo)及∠ACB的大;
(2)設(shè)D為線段OC上一點,滿足∠DPC=∠BAC,求D的坐標(biāo);
(3)在x軸上,是否存在點M,使得以M為圓心的圓能與直線AC、直線PC及y軸都相切?如果存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

解:(1)∵頂點為P(1,-2),
∴設(shè)二次函數(shù)頂點式解析式為y=a(x-1)2-2,
把點A(-3,6)代入得,a(-3-1)2-2=6,
解得a=,
所以,二次函數(shù)解析式為y=(x-1)2-2=x2-x-,
即y=x2-x-
令y=0,則x2-x-=0,
整理得,x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴點C坐標(biāo)為(3,0);
∵A(-3,6),C(3,0),
∴tan∠ACB==1,
∴∠ACB=45°;

(2)∵點P(1,-2),C(3,0),
∴tan∠PCD==1,
∴∠PCD=45°,
∴∠PCD=∠ACB,
又∵∠DPC=∠BAC,
∴△DPC∽△BAC,
=
∵AC==6,PC==2,BC=3-(-1)=4,
=,
解得DC=
∴OD=OC-DC=3-=,
∴點D的坐標(biāo)為(,0);

(3)如圖,①點M在線段OC上時,設(shè)AC切⊙O于H1,連接MH1,
∵⊙M與直線AC相切,
∴MH1⊥AC,
∵∠ACB=45°,
∴OC=OM+CM=OM+OM=3,
解得OM==3-3;
此時,點M(3-3,0);
②點M在射線OB上時,設(shè)AC切⊙O于H2,連接MH2,
∵⊙M與直線AC相切,
∴MH2⊥AC,
∵∠ACB=45°,
∴OC=CM-OM=OM-OM=3,
解得OM==3+3.
此時,點M(-3-3,0).
分析:(1)設(shè)二次函數(shù)頂點式解析式為y=a(x-1)2-2,然后把點A的坐標(biāo)代入求出a的值,即可得解,令y=0,解方程求出點B、C的坐標(biāo),然后求出∠ACB=45°;
(2)先求出∠PCD=45°,再利用勾股定理列式求出AC、PC,然后根據(jù)兩組角對應(yīng)相等兩三角形相似判斷出△DPC和△BAC相似,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出DC,再求出OD,即可得到點D的坐標(biāo);
(3)分①點M在線段OC上時,設(shè)AC切⊙O于H1,連接MH1,根據(jù)切線的定義可得MH1⊥AC,從而然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)用OM表示出OC,求解即可;
②點M在射線OB上時,設(shè)AC切⊙O于H2,連接MH2,根據(jù)切線的定義可得MH2⊥AC,從而然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)用OM表示出OC,求解即可.
點評:本題是二次函數(shù)綜合題型,主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,相似三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形,等腰直角三角形的性質(zhì),圓的切線的定義,(1)利用二次函數(shù)的頂點式形式求解更加簡便,(3)難點在于分情況討論.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點,與y軸交于點精英家教網(wǎng)C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求直線BC的函數(shù)解析式;
(3)在拋物線上,是否存在一點P,使△PAB的面積等于△ABC的面積,若存在,求出點P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
(4)點Q是直線BC上的一個動點,若△QOB為等腰三角形,請寫出此時點Q的坐標(biāo).(可直接寫出結(jié)果)

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如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)精英家教網(wǎng)、C(0,-3)兩點,與x軸交于另一點B.
(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在拋物線的對稱軸x=1上求一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,并求出此時點M的坐標(biāo).

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(2013•衡陽)如圖,已知拋物線經(jīng)過A(1,0),B(0,3)兩點,對稱軸是x=-1.
(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)動點Q從點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運(yùn)動,同時動點M從O點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運(yùn)動,過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N,交拋物線于點P,設(shè)運(yùn)動的時間為t秒.
①當(dāng)t為何值時,四邊形OMPQ為矩形;
②△AON能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請說明理由.

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如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)、C(0,-3)兩點,與x軸交于另一點B.
(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)點P是拋物線對稱軸上一點,若△PAB∽△OBC,求點P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點是(-1,-4),且與x軸交于A、B(1,0)兩點,交y軸于點C;
(1)求此拋物線的解析式;
(2)①當(dāng)x的取值范圍滿足條件
-2<x<0
-2<x<0
時,y<-3;
     ②若D(m,y1),E(2,y2)是拋物線上兩點,且y1>y2,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)直線x=t平行于y軸,分別交線段AC于點M、交拋物線于點N,求線段MN的長度的最大值;
(4)若以拋物線上的點P為圓心作圓與x軸相切時,正好也與y軸相切,求點P的坐標(biāo).

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