如圖,拋物線y=﹣x2+3x+4與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,點D在拋物線上且橫坐標為3.
(1)求tan∠DBC的值;
(2)點P為拋物線上一點,且∠DBP=45°,求點P的坐標.
(1)tan∠DBC=;
(2)P(﹣,).
解析試題分析:(1)連接CD,過點D作DE⊥BC于點E.利用拋物線解析式可以求得點A、B、C、D的坐標,則可得CD//AB,OB=OC,所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°.由直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和圖中相關(guān)線段間的關(guān)系可得BC=4,BE=BC﹣DE=.由此可知tan∠DBC=;
(2)過點P作PF⊥x軸于點F.由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC,利用(1)中的結(jié)果得到:tan∠PBF=.設P(x,﹣x2+3x+4),則利用銳角三角函數(shù)定義推知=,通過解方程求得點P的坐標為(﹣,).
試題解析:
(1)令y=0,則﹣x2+3x+4=﹣(x+1)(x﹣4)=0,
解得 x1=﹣1,x2=4.
∴A(﹣1,0),B(4,0).
當x=3時,y=﹣32+3×3+4=4,
∴D(3,4).
如圖,連接CD,過點D作DE⊥BC于點E.
∵C(0,4),
∴CD//AB,
∴∠BCD=∠ABC=45°.
在直角△OBC中,∵OC=OB=4,
∴BC=4.
在直角△CDE中,CD=3.
∴CE=ED=,
∴BE=BC﹣DE=.
∴tan∠DBC=;
(2)過點P作PF⊥x軸于點F.
∵∠CBF=∠DBP=45°,
∴∠PBF=∠DBC,
∴tan∠PBF=.
設P(x,﹣x2+3x+4),則=,
解得 x1=﹣,x2=4(舍去),
∴P(﹣,).
考點:1、二次函數(shù);2、勾股定理;3、三角函數(shù)
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
用長為32米的籬笆圍一個矩形養(yǎng)雞場,設圍成的矩形一邊長為x米,面積為y平方米.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當x為何值時,圍成的養(yǎng)雞場面積為60平方米?
(3)能否圍成面積為70平方米的養(yǎng)雞場?如果能,請求出其邊長;如果不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,拋物線:y=ax2+bx+4與x軸交于點A(-2,0)和B(4,0)、與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)T是拋物線對稱軸上的一點,且△ACT是以AC為底的等腰三角形,求點T的坐標;
(3)點M、Q分別從點A、B以每秒1個單位長度的速度沿x軸同時出發(fā)相向而行.當點M原點時,點Q立刻掉頭并以每秒個單位長度的速度向點B方向移動,當點M到達拋物線的對稱軸時,兩點停止運動.過點M的直線l⊥軸,交AC或BC于點P.求點M的運動時間t(秒)與△APQ的面積S的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖①,已知等腰梯形ABCD的周長為48,面積為S,AB∥CD,∠ADC=60°,設AB=3x.
(1)用x表示AD和CD;
(2)用x表示S,并求S的最大值;
(3)如圖②,當S取最大值時,等腰梯形ABCD的四個頂點都在⊙O上,點E和點F分別是AB和CD的中點,求⊙O的半徑R的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖1,邊長為4的正方形ABCD中,點E在AB邊上(不與點A,B重合),點F在BC邊上(不與點B,C重合).
第一次操作:將線段EF繞點F順時針旋轉(zhuǎn),當點E落在正方形上時,記為點G;
第二次操作:將線段FG繞點G順時針旋轉(zhuǎn),當點F落在正方形上時,記為點H;
依次操作下去…
(1)圖2中的△EFD是經(jīng)過兩次操作后得到的,其形狀為 ,求此時線段EF的長;
(2)若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH.
①請判斷四邊形EFGH的形狀為 ,此時AE與BF的數(shù)量關(guān)系是 ;
②以①中的結(jié)論為前提,設AE的長為x,四邊形EFGH的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍;
(3)若經(jīng)過多次操作可得到首尾順次相接的多邊形,其最大邊數(shù)是多少?它可能是正多邊形嗎?如果是,請直接寫出其邊長;如果不是,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標系中,拋物線經(jīng)過點(0,),(3,4).
(1)求拋物線的表達式及對稱軸;
(2)設點關(guān)于原點的對稱點為,點是拋物線對稱軸上一動點,記拋物線在,之間的部分為圖象(包含,兩點).若直線與圖象有公共點,結(jié)合函數(shù)圖像,求點縱坐標的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,直線與x軸,y軸分別相交于點B,點C,經(jīng)過B、C兩點的拋物線與x軸的另一交點為A,頂點為P,且對稱軸是直線.
(1)求A點的坐標及該拋物線的函數(shù)表達式;
(2)求出∆PBC的面積;
(3)請問在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點Q,使得以點A、B、C、Q所圍成的四邊形面積是∆PBC的面積的?若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標系中,直線與拋物線交于A、B兩點,點A在x軸上,點B的橫坐標為-8.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點P是直線AB上方的拋物線上一動點(不與點A、B重合),過點P作x軸的垂線,垂足為C,交直線AB于點D,作PE⊥AB于點E.
①設△PDE的周長為l,點P的橫坐標為x,求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出l的最大值;
②連接PA,以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG.隨著點P的運動,正方形的大小、位置也隨之改變.當頂點F或G恰好落在y軸上時,直接寫出對應的點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在直角坐標系xOy中,已知點P是反比例函數(shù)y=(x>0)圖象上一個動點,以P為圓心的圓始終與y軸相切,設切點為A.
(1)如圖1,⊙P運動到與x軸相切,設切點為K,試判斷四邊形OKPA的形狀,并說明理由.
(2)如圖2,⊙P運動到與x軸相交,設交點為B,C.當四邊形ABCP是菱形時:
①求出點A,B,C的坐標.
②在過A,B,C三點的拋物線上是否存在點M,使△MBP的面積是菱形ABCP面積的?若存在,試求出所有滿足條件的M點的坐標;若不存在,試說明理由.
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