如圖①,已知等腰梯形ABCD的周長為48,面積為S,AB∥CD,∠ADC=60°,設AB=3x.
(1)用x表示AD和CD;
(2)用x表示S,并求S的最大值;
(3)如圖②,當S取最大值時,等腰梯形ABCD的四個頂點都在⊙O上,點E和點F分別是AB和CD的中點,求⊙O的半徑R的值.

(1)AD=18-2x,CD=16+x;(2)S=-2(x-2)2+72,當x=2時,S有最大值72;(3)R=2

解析試題分析:(1)作AH⊥CD于H,BG⊥CD于G,如圖①,易得四邊形AHGB為矩形,則HG=AB=3x,再根據(jù)等腰梯形的性質得AD=BC,DH=CG,在Rt△ADH中,設DH=t,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得AD=2t,AH=t,然后根據(jù)等腰梯形ABCD的周長為48得3x+2t+t+3x+t+2t=48,解得t=8-x,于是可得AD=18-2x,CD=16+x;
(2)根據(jù)梯形的面積公式計算可得到S=-2x2+8x+64,再進行配方得S=-2(x-2)2+72,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解;
(3)連結OA、OD,如圖②,由(2)得到x=2時,則AB=6,CD=18,等腰梯形的高為6,所以AE=3,DF=9,由于點E和點F分別是AB和CD的中點,根據(jù)等腰梯形的性質得直線EF為等腰梯形ABCD的對稱軸,所以EF垂直平分AB和CD,EF為等腰梯形ABCD的高,即EF=6,根據(jù)垂徑定理的推論得等腰梯形ABCD的外接圓的圓心O在EF上,設OE=a,則OF=6-a,在Rt△AOE中,利用勾股定理得a2+32=R2,在Rt△ODF中,利用勾股定理得(6-a)2+92=R2,然后消去R得到a的方程a2+32=(6-a)2+92,解得a=5,最后利用R2=(52+32求解.
試題解析:(1)作AH⊥CD于H,BG⊥CD于G,如圖①,

則四邊形AHGB為矩形,
∴HG=AB=3x,
∵四邊形ABCD為等腰梯形,
∴AD=BC,DH=CG,
在Rt△ADH中,設DH=t,
∵∠ADC=60°,
∴∠DAH=30°,
∴AD=2t,AH=t,
∴BC=2t,CG=t,
∵等腰梯形ABCD的周長為48,
∴3x+2t+t+3x+t+2t=48,解得t=8-x,
∴AD=2(8-x)=18-2x,
CD=8-x+3x+8-x=16+x;
(2)S=(AB+CD)•AH
=(3x+16+x)•(8-x)
=-2x2+8x+64,
∵S=-2(x-2)2+72,
∴當x=2時,S有最大值72;
(3)連結OA、OD,如圖②,

當x=2時,AB=6,CD=16+2=18,等腰梯形的高為×(8-2)=6
則AE=3,DF=9,
∵點E和點F分別是AB和CD的中點,
∴直線EF為等腰梯形ABCD的對稱軸,
∴EF垂直平分AB和CD,EF為等腰梯形ABCD的高,即EF=6,
∴等腰梯形ABCD的外接圓的圓心O在EF上,
設OE=a,則OF=6-a,
在Rt△AOE中,
∵OE2+AE2=OA2,
∴a2+32=R2
在Rt△ODF中,
∵OF2+DF2=OD2,
∴(6-a)2+92=R2,
∴a2+32=(6-a)2+92,解得a=5,
∴R2=(52+32=84,
∴R=2
【考點】圓的綜合題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:填空題

如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+3與y軸交于點A,過點A與x軸平行的直線交拋物線于點B、C,則BC的長值為   

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖1,在平面直角坐標系xOy中,點M為拋物線的頂點,過點(0,4)作x軸的平行線,交拋物線于點P、Q(點P在Q的左側),PQ=4.
(1)求拋物線的函數(shù)關系式,并寫出點P的坐標;
(2)小麗發(fā)現(xiàn):將拋物線繞著點P旋轉180°,所得新拋物線的頂點恰為坐標原點O,你認為正確嗎?請說明理由;
(3)如圖2,已知點A(1,0),以PA為邊作矩形PABC(點P、A、B、C按順時針的方向排列),
①寫出C點的坐標:C(              )(坐標用含有t的代數(shù)式表示);
②若點C在題(2)中旋轉后的新拋物線上,求t的值.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖1、2,已知四邊形ABCD為正方形,在射線AC上有一動點P,作PE⊥AD(或延長線)于E,作PF⊥DC(或延長線)于F,作射線BP交EF于G.
(1)在圖1中,設正方形ABCD的邊長為2,四邊形ABFE的面積為y,AP=x,求y關于x的函數(shù)表達式;
(2)結論:GB⊥EF對圖1,圖2都是成立的,請任選一圖形給出證明;
(3)請根據(jù)圖2證明:△FGC∽△PFB.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

今年5月1日起實施《青海省保障性住房準入分配退出和運營管理實施細則》規(guī)定:公共租賃住房和廉租住房并軌運行(以下簡稱并軌房),計劃10年內解決低收入人群住房問題.已知第x年(x為正整數(shù))投入使用的并軌房面積為y百萬平方米,且y與x的函數(shù)關系式為y=-x+5.由于物價上漲等因素的影響,每年單位面積租金也隨之上調.假設每年的并軌房全部出租完,預計第x年投入使用的并軌房的單位面積租金z與時間x滿足一次函數(shù)關系如下表:

時間x(單位:年,x為正整數(shù))
 
1
 
2
 
3
 
4
 
5
 

 
單位面積租金z(單位:元/平方米)
 
50
 
52
 
54
 
56
 
58
 
 
 
 
(1)求出z與x的函數(shù)關系式;
(2)設第x年政府投入使用的并軌房收取的租金為W百萬元,請問政府在第幾年投入使用的并軌房收取的租金最多,最多為多少百萬元?

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為A(3,0),與y軸的交點為B(0,3),其頂點為C,對稱軸為x=1.
(1)求拋物線的解析式;
(2)已知點M為y軸上的一個動點,當△ABM為等腰三角形時,求點M的坐標;
(3)將△AOB沿x軸向右平移m個單位長度(0<m<3)得到另一個三角形,將所得的三角形與△ABC重疊部分的面積記為S,用m的代數(shù)式表示S.

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如圖,拋物線y=﹣x2+3x+4與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,點D在拋物線上且橫坐標為3.
(1)求tan∠DBC的值;
(2)點P為拋物線上一點,且∠DBP=45°,求點P的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

定義1:在△ABC中,若頂點A,B,C按逆時針方向排列,則規(guī)定它的面積為“有向面積”;若頂點A,B,C按順時針方向排列,則規(guī)定它的面積的相反數(shù)為△ABC的“有向面積”.“有向面積”用表示,例如圖1中,,圖2中,.
定義2:在平面內任取一個△ABC和點P(點P不在△ABC的三邊所在直線上),稱有序數(shù)組(,)為點P關于△ABC的“面積坐標”,記作,例如圖3中,菱形ABCD的邊長為2,,則,點G關于△ABC的“面積坐標”.在圖3中,我們知道,利用“有向面積”,我們也可以把上式表示為:.
應用新知:
(1)如圖4,正方形ABCD的邊長為1,則        ,點D關于△ABC的“面積坐標”是       ;探究發(fā)現(xiàn):
(2)在平面直角坐標系中,點,
①若點P是第二象限內任意一點(不在直線AB上),設點P關于的“面積坐標”為,
試探究之間有怎樣的數(shù)量關系,并說明理由;
②若點是第四象限內任意一點,請直接寫出點P關于的“面積坐標”(用x,y表示);
解決問題:
(3)在(2)的條件下,點,點Q在拋物線上,求當的值最小時,點Q的橫坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,拋物線與x軸交于A(5,0)、B(-1,0)兩點,過點A作直線AC⊥x軸,交直線于點C;
(1)求該拋物線的解析式;
(2)求點A關于直線的對稱點的坐標,判定點是否在拋物線上,并說明理由;
(3)點P是拋物線上一動點,過點P作y軸的平行線,交線段于點M,是否存在這樣的點P,使四邊形PACM是平行四邊形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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