在平面直角坐標(biāo)系中,現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在兩坐標(biāo)軸上,點(diǎn)C為(-1,0).如圖所示,B點(diǎn)在拋物線y=x2+x-2圖象上,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸,垂足為D,且B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-3.
(1)求證:△BDC≌△COA;
(2)求BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式;
(3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)首先根據(jù)題意推出∠BCD=∠COA,然后BC=AC,根據(jù)全等三角形的判定定理“AAS”定理,即可判定△BDC≌△COA;
(2)首先(1)所得的結(jié)論,即可推出OC=BD=1,即可得B點(diǎn)的縱坐標(biāo),設(shè)出直線的函數(shù)關(guān)系式,把B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入,求出k、b,即可推出結(jié)論;
(3)首先根據(jù)二次函數(shù)表達(dá)式,求出拋物線的對(duì)稱軸,然后分情況進(jìn)行分析①以AC為直角邊,A點(diǎn)為直角頂點(diǎn),根據(jù)題意推出P1點(diǎn)為BC與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn),根據(jù)直線BC的解析式和拋物線的解析式,即可推出P1點(diǎn)的坐標(biāo),②以AC為直角邊,C點(diǎn)為直角頂點(diǎn),做AP2⊥AC,設(shè)與拋物線的對(duì)稱軸交于P2點(diǎn),確定點(diǎn)P2的位置,由OA=CD,即可推出A點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)AP2∥BC,即可推出直線AP2的解析式,結(jié)合拋物線對(duì)稱軸的解析式,即可推出P2的坐標(biāo).
解答:(1)證明:∵AC⊥BC,BD⊥CD,
∴∠BDC=∠COA=90°,∠ACO+∠BCD=90°,
∴∠BCD=∠OAC,
∵△ABC為等腰直角三角形,
∴BC=AC,
∵在△BDC和△COA中

∴△BDC≌△COA(AAS),

(2)解:∵△BDC≌△COA,
∴BD=CO,
∵C點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0),
∴BD=OC=1,
∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,
∵B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3,
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,1),
設(shè)BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,
,
∴解方程組得
∴直線BC所在直線的解析式為:y=-x-,

(3)解:存在,
∵拋物線的解析式為:y=x2+x-2,
∴y=x2+x-2
=(x+2-
∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-,
①若以AC為直角邊,C點(diǎn)為直角頂點(diǎn),做CP1⊥AC,
∵BC⊥AC,
∴P1點(diǎn)為直線BC與對(duì)稱軸直線x=-的交點(diǎn),
∵直線BC所在直線的解析式為:y=-x-,
,
∴解得
∴P1點(diǎn)的坐標(biāo)為(-,-);
②若以AC為直角邊,A點(diǎn)為直角頂點(diǎn),對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P2,使AP2⊥AC,
∴過(guò)點(diǎn)A作AP2∥BC,交對(duì)稱軸直線x=-于點(diǎn)P2,
∵OD=3,OC=1,
∴OA=CD=2,
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2),
∴直線AP2的解析式為y=-x+2,
,
∴解得:,
∴P2點(diǎn)的坐標(biāo)為(-,),
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為P1(-,-)、P2(-,).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì),待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,根據(jù)解析式求點(diǎn)的坐標(biāo),關(guān)鍵在于(1)推出∠BCD=∠OAC,(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,推出B點(diǎn)的坐標(biāo),(3)注意分情況討論,①若以AC為直角邊,C點(diǎn)為直角頂點(diǎn),推出P1點(diǎn)為直線BC與對(duì)稱軸直線x=-的交點(diǎn),②若以AC為直角邊,A點(diǎn)為直角頂點(diǎn),由A點(diǎn)的坐標(biāo),求出直線AP2的解析式.
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2
2

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)作AC⊥AD,AC交拋物線于點(diǎn)C,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)解析式;
(3)在(2)的條件下,在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使△APC的面積最大?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△APC的最大面積;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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0°(或360°的整數(shù)倍)
,k=
2

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