如圖,平行四邊形ABCD中,點E、F、G、H分別在AB、BC、CD、AD邊上且AE=CG,AH=CF.
(1)求證:四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)如果AB=AD,且AH=AE,求證:四邊形EFGH是矩形.

證明:(1)在平行四邊形ABCD中,∠A=∠C,
又∵AE=CG,AH=CF,
∴△AEH≌△CGF.
∴EH=GF.
在平行四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC,
∴AB-AE=CD-CG,AD-AH=BC-CF,
即BE=DG,DH=BF.
又∵在平行四邊形ABCD中,∠B=∠D,∴△BEF≌△DGH.
∴GH=EF.
∴四邊形EFGH是平行四邊形.

(2)解法一:在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.
設∠A=α,則∠D=180°-α.
∵AE=AH,∴∠AHE=∠AEH=.∵AD=AB=CD,AH=AE=CG,
∴AD-AH=CD-CG,即DH=DG.
∴∠DHG=∠DGH=
∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°.
又∵四邊形EFGH是平行四邊形,
∴四邊形EFGH是矩形.

解法二:連接BD,AC.
∵AH=AE,AD=AB,
,∴HE∥BD,
同理可證,GH∥AC,
∵四邊形ABCD是平行四邊形且AB=AD,
∴平行四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∴∠EHG=90°.
又∵四邊形EFGH是平行四邊形,
∴四邊形EFGH是矩形.
分析:(1)易證得△AEH≌△CGF,從而證得BE=DG,DH=BF.故有,△BEF≌△DGH,根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形而得證.
(2)由題意知,平行四邊形ABCD是菱形,連接AC,BD,則有AC⊥BD,由AB=AD,且AH=AE可證得HE∥BD,同理可得到HG∥AC,故HG⊥HE,又由1知四邊形HGFE是平行四邊形,故四邊形HGFE是矩形.
點評:本題利用了平行四邊形的判定和性質,全等三角形的判定和性質,菱形的判定和性質,矩形的判定求解.
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