Question

如圖①，四邊形AEFG和ABCD都是正方形，且點(diǎn)F在AD上，它們的邊長(zhǎng)分別為12，4．

（1）求S_△DBF；
（2）把正方形AEFG繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得圖②，求圖②中的S_△DBF；
（3）把正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，S_△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接寫出最大值、最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)F在AD上，
∴AF²=4²+4²，即AF=4，
∴DF=12-4，
∴S_△DBF=DF×AB=×（12-4）×12=72-24；

（2）連接DF，AF．
∵由題意易知AF∥BD，
∴四邊形AFDB是梯形，
∴△DBF與△ABD等高同底，即BD為兩三角形的底，
由AF∥BD，得到平行線間的距離相等，即高相等，
∴S_△DBF=S_△ABD=72-24；

（3）正方形AEFG在繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，F(xiàn)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AF為半徑的圓，
因?yàn)椤鰾FD的邊BD=12，故當(dāng)F點(diǎn)到BD的距離取得最大、最小值時(shí)，S_△BFD取得最大、最小值．
如圖②所示DF₂⊥BD時(shí)，S_△BFD的最大值=S△BF2D=×12•（6+4）=120，
S_△BFD的最小值=S△BF2D=×12•（6-4）=24；
分析：（1）根據(jù)圖形的關(guān)系，可得AF的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式，可得△DBF的面積；
（2）連接AF，由題意易知AF∥BD；△DBF與△ABD同底等高，故面積相等；
（3）分析可得：當(dāng)F點(diǎn)到BD的距離取得最大、最小值時(shí)，S_△BFD取得最大、最小值；
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理及正方形的性質(zhì)，解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)，注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．