Question

如圖，AB是大半圓O的直徑，AO是小半圓M的直徑，點P是大半圓O上一點，PA與小半圓M交于點C，過點C作CD⊥OP于點D．

（1）求證：CD是小半圓M的切線；

（2）若AB=8，點P在大半圓O上運動（點P不與A，B兩點重合），設PD=x，CD²=y．

①求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

②當y=3時，求P，M兩點之間的距離．

Answer 1

解：（1）連接CO、CM，如圖1所示．

∵AO是小半圓M的直徑，

∴∠ACO=90°即CO⊥AP．

∵OA=OP，

∴AC=PC．

∵AM=OM，

∴CM∥PO．

∴∠MCD=∠PDC．

∵CD⊥OP，

∴∠PDC=90°．

∴∠MCD=90°即CD⊥CM．

∵CD經(jīng)過半徑CM的外端C，且CD⊥CM，

∴直線CD是小半圓M的切線．

 

（2）①∵CO⊥AP，CD⊥OP，

∴∠OCP=∠ODC=∠CDP=90°．

∴∠OCD=90°﹣∠DCP=∠P．

∴△ODC∽△CDP．

∴．

∴CD²=DP•OD．

∵PD=x，CD²=y，OP=AB=4，

∴y=x（4﹣x）=﹣x²+4x．

當點P與點A重合時，x=0；當點P與點B重合時，x=4；

∵點P在大半圓O上運動（點P不與A，B兩點重合），

∴0＜x＜4．

∴y與x之間的函數(shù)關系式為y=﹣x²+4x，

自變量x的取值范圍是0＜x＜4．

 

②當y=3時，﹣x²+4x=3．

解得：x₁=1，x₂=3．

Ⅰ．當x=1時，如圖2所示．

在Rt△CDP中，

∵PD=1，CD=．

∴tan∠CPD==，

∴∠CPD=60°．

∵OA=OP，

∴△OAP是等邊三角形．

∵AM=OM，

∴PM⊥AO．

∴PM=

=

=2．

Ⅱ．當x=3時，如圖3所示．

同理可得：∠CPD=30°．

∵OA=OP，

∴∠OAP=∠APO=30°．

∴∠POB=60°

過點P作PH⊥AB，垂足為H，連接PM，如圖3所示．

∵sin∠POH===，

∴PH=2．

同理：OH=2．

在Rt△MHP中，

∵MH=4，PH=2，

∴PM=

=

=2．

綜上所述：當y=3時，P，M兩點之間的距離為2或2．