Question

已知：如圖，AB是半圓O上的直徑，E是

BC

的中點(diǎn)，半徑OE交弦BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．BC=8，DE=2．
（Ⅰ）求⊙O的半徑；
（Ⅱ）求點(diǎn)F到⊙O的切線長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用切線的性質(zhì)，設(shè)出半徑，再利用勾股定理列出方程即可得出半徑；
（2）欲求切線長(zhǎng)，只需證明△OCF∽△ODC即可，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出切線CF的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵OE⊥BC，∴CD=

1

2

BC=4．（1分）
設(shè)⊙O半徑為r，則OD=r-DE=r-2，
∵CF是⊙O的切線，
∴OC⊥CF，
在Rt△OCD中，有OC²=OD²+CD²，（3分）
即r²=（r-2）²+4²，解得r=5．（4分）

（2）∵∠OCF=∠ODC，∠FOC=∠COD，
∴△OCF∽△ODC，（6分）
∴

CF

OC

=

DC

OD

，∴CF=

OC•DC

OD

=

5×4

3

=

20

3

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切線的性質(zhì)和三角形相似的判定及其應(yīng)用，有一定的難度，要求學(xué)生能夠仔細(xì)讀題，把握已知，認(rèn)真完成題目要求．