Question

如圖的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，以O(shè)C、OB為兩邊作矩形OBDC，CD交拋物線于G．
（1）求OC和OB的長；
（2）拋物線的對(duì)稱軸l在邊OB（不包括O、B兩點(diǎn)）上作平行移動(dòng)，交x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P．設(shè)OE=m，PM=h，求h與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出PM的最大值；
（3）連接PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△BEM相似？若存在，直接求出此時(shí)m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）對(duì)于，
當(dāng)x=0時(shí)，y=4；
當(dāng)y=0時(shí)，，
解得x₁=-1，x₂=3；
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）；
∴OC=4，OB=3；

（2）∵拋物線的對(duì)稱軸l⊥x軸，在邊PE∥l，
∴PE⊥x軸；
∵OE=m，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為；
∴PE=；
在Rt△BOC中，tan∠OBC=；
在Rt△BME中，
ME=BEtan∠OBC=（OB-OE）•tan∠OBC=（3-m）=4-m；
∴PM=PE-ME=-4+m=；
∴h與m的函數(shù)關(guān)系式為h=（0＜m＜3）
又h=，
∵-＜0，
∴當(dāng)m=時(shí)，h有最大值為3，
∴PM的最大值為3；

（3）①當(dāng)m=時(shí)，△PFC∽△BEM，此時(shí)△PCM為直角三角形（∠PCM為直角）；
②當(dāng)m=1時(shí)，△CFP∽△BEM，此時(shí)△PCM為等腰三角形（PC=CM）．
分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式，易求得B、C的坐標(biāo)，即可得到OB、OC的長；
（2）若OE=m，即P、M的橫坐標(biāo)為m，可根據(jù)B、C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，進(jìn)而根據(jù)拋物線和直線BC的解析式表示出P、M的縱坐標(biāo)，即可得到PM的長，即h的表達(dá)式，由此可求出h、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍即可求出PM的最大值；
（3）由于∠PFC和∠BEM都是直角，對(duì)應(yīng)相等，若所求的兩個(gè)三角形相似，存在兩種情況：
①△PFC∽△BEM，②△CFP∽△BEM；
可分別用m表示出BE、EM、CF、PF的長，根據(jù)上述兩類相似三角形所得的不同比例線段即可求出m的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用以及相似三角形的判定和性質(zhì)；要注意的是當(dāng)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角不明確時(shí)，要分類討論，以免漏解．