如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,且AB=BC=4AD,E是AB上的一點(diǎn),DE⊥EC.求證:CE平分∠BCD.
分析:通過(guò)證明Rt△AED∽R(shí)t△BCE得到:
AD
BE
=
AE
BC
,則AD•BC=BE•AE.所以根據(jù)已知條件和圖形中相關(guān)線段間的和差關(guān)系得到AD•4AD=(4AD-AE)•AE,易求點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).
設(shè)DC的中點(diǎn)為F,連結(jié)EF,根梯形中位線定理可以得到EF∥BC且EF=FC.所以由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠4=∠6,∠4=∠5.故∠5=∠6,即CE平分∠BCD.
解答:證明:∵AD∥BC,AB⊥BC,DE⊥EC,
∴∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°.
∴∠3=∠2,
∴Rt△AED∽R(shí)t△BCE.
AD
BE
=
AE
BC

∴AD•BC=BE•AE.
又∵AB=BC=4AD,
∴AE+BE=AB=BC=4AD,
∴AD•4AD=(4AD-AE)•AE,即(AE-2AD)2=0.
∴AE=2AD=
1
2
AB,即E為AB的中點(diǎn).
設(shè)DC的中點(diǎn)為F,連結(jié)EF,則EF∥BC且EF=FC.
∴∠4=∠6,∠4=∠5.
∴∠5=∠6,即CE平分∠BCD.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了直角梯形,相似三角形的判定與性質(zhì).在求∠3=∠2時(shí),也可以直接利用“同角的余角相等”得到該結(jié)論.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

20、如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,E為BC邊上的點(diǎn).將直角梯形ABCD沿對(duì)角線BD折疊,使△ABD與△EBD重合(如圖中陰影所示).若∠A=130°,AB=4cm,則梯形ABCD的高CD≈
3.1
cm.(結(jié)果精確到0.1cm)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F(xiàn)點(diǎn)以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運(yùn)動(dòng),E點(diǎn)同時(shí)以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<5).
(1)求證:△ACD∽△BAC;
(2)求DC的長(zhǎng);
(3)設(shè)四邊形AFEC的面積為y,求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1998•大連)如圖,在直角梯形ABCD中.AD∥BC,DC⊥BC,且BC=3AD.以梯形的高AE為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G、H.過(guò)點(diǎn)F引⊙O的切線交BC于點(diǎn)N.
(1)求證:BN=EN;
(2)求證:4DH•HC=AB•BF;
(3)設(shè)∠GEC=α.若tan∠ABC=2,求作以tanα、cotα為根的一元二次方程.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠ADC=90°,AB=3a,CD=2a,AD=2,點(diǎn)E、F分別是腰AD、BC上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)G在AB上,且四邊形AEFG是矩形.設(shè)FG=x,矩形AEFG的面積為y.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)在腰BC上求一點(diǎn)F,使梯形ABCD的面積是矩形AEFG的面積的2倍,并求出此時(shí)BF的長(zhǎng);
(3)當(dāng)∠ABC=60°時(shí),矩形AEFG能否為正方形?若能,求出其邊長(zhǎng);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,AB=6cm,CD=10cm,AD=5cm,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng),點(diǎn)Q以1cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng),當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).
(1)經(jīng)過(guò)幾秒鐘,點(diǎn)P、Q之間的距離為5cm?
(2)連接PD,是否存在某一時(shí)刻,使得PD恰好平分∠APQ?若存在,求出此時(shí)的移動(dòng)時(shí)間;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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