Question

已知關于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0有兩個實數根x₁，x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x₁+x₂+x₁x₂=6，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac的意義得到△≥0，即4（k-1）²-4×1×k²≥0，解不等式即可得到k的范圍；
（2）根據一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系得到x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=k²，則2（k-1）+k²=6，即k²+2k-8=0，利用因式分解法解得k₁=-4，k₂=2，然后由（1）中的k的取值范圍即可得到k的值．
解答：解：（1）∵方程x²-2（k-1）x+k²=0有兩個實數根x₁，x₂，
∴△≥0，即4（k-1）²-4×1×k²≥0，解得k≤，
∴k的取值范圍為k≤；

（2）∵方程x²-2（k-1）x+k²=0有兩個實數根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=k²，
∴2（k-1）+k²=6，即k²+2k-8=0，
∴k₁=-4，k₂=2，
∵k≤，
∴k=-4．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系．