Question

已知等邊△ABC的面積為3

3

cm²，以A為圓心的圓與BC所在的直線l（1）沒有公共點（2）有一個公共點（3）有兩個公共點，求三種情況下⊙A的半徑的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：計算題

分析：作AD⊥BC于D，如圖，根據等邊三角形的性質和面積公式計算出AD，然后根據直線和圓的位置關系的判定方法確定⊙A的半徑的取值范圍．

解答：解：作AD⊥BC于D，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAD=30°，AB=2BD，
∴AD=

3

BD，
∵

1

2

AD•BC=3

3

，
∴

1

2

•

3

BD•2BD=3

3

，
∴BD=

3

，
∴AD=

3

×

3

=3，
（1）當⊙A的半徑r小于AD時，以A為圓心的圓與BC所在的直線l沒有公共點，
即0＜r＜3；
（2）當⊙A的半徑r等于AD時，以A為圓心的圓與BC所在的直線l有一個公共點，
即r=3；
（3）當⊙A的半徑r大于AD時，以A為圓心的圓與BC所在的直線l有兩個公共點，
即r＞3．

點評：本題考查了直線和圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了等邊三角形的性質．