Question

【題目】在平面上有且只有4個(gè)點(diǎn)，這4個(gè)點(diǎn)中有一個(gè)獨(dú)特的性質(zhì)：連結(jié)每?jī)牲c(diǎn)可得到6條線段，這6條線段有且只有兩種長(zhǎng)度．我們把這四個(gè)點(diǎn)稱作準(zhǔn)等距點(diǎn)．例如正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)(如圖1)，有AB=BC=CD=DA，AC=BD．其實(shí)滿足這樣性質(zhì)的圖形有很多，如圖2中A、B、C、O四個(gè)點(diǎn)，滿足AB=BC=CA，OA=OB=OC；如圖3中A、B、C、O四個(gè)點(diǎn)，滿足OA=OB=OC=BC，AB=AC．

（1）如圖，若等腰梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是準(zhǔn)等距點(diǎn)，且AD∥BC．

①寫(xiě)出相等的線段（不再添加字母）；

②求∠BCD的度數(shù)．

（2）請(qǐng)?jiān)佼?huà)出一個(gè)四邊形，使它的四個(gè)頂點(diǎn)為準(zhǔn)等距點(diǎn)，并寫(xiě)出相等的線段．

Answer 1

【答案】（1）①AB=DC=AD， AC=BD=BC．②∠BCD=72°．（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）①結(jié)合等腰梯形的性質(zhì)及題意所表述的含義可寫(xiě)出符合題意的結(jié)論．②先證△ABC≌△DCB，得出∠DBC=∠ACB，根據(jù)題意可求得∠BDC=∠BCD=2∠ACB，設(shè)∠ACB=x°，利用內(nèi)角和定理可得出答案．

（2）可選擇畫(huà)菱形．

解：（1）①AB=DC=AD，AC=BD=BC，

②∵AC=BD，AB=DC，BC=BC，

∴△ABC≌△DCB，

∴∠DBC=∠ACB，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∵DC=AD，∠DAC=∠ACD，

∴∠ACD=∠ACB，

∵BC=BD，∠BDC=∠BCD=2∠ACB，

設(shè)∠ACB=x°，則∠BDC=∠BCD=2x°，∠DBC=x°，

∴2x+2x+x=180，

解得x=36，

∴∠BCD=72°．

（2）所畫(huà)圖形如下：四邊形ABCD是菱形（∠DAB=60°），

AB=BC=CD=AD=BD．