Question

【題目】如圖所示，矩形ABCD中，AB=6，BD=10．Rt△EFG的直角邊GE在CB的延長(zhǎng)線上，E點(diǎn)與矩形的B點(diǎn)重合，∠FGE=90°，已知GE+AB=BC，F(xiàn)G=2GE．將矩形ABCD固定，把Rt△EFG沿著射線BC方向按每秒1個(gè)單位運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)G到達(dá)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)Rt△EFG的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）求出線段FG的長(zhǎng)，并求出當(dāng)點(diǎn)F恰好經(jīng)過BD時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)Rt△EFG與△BCD的重合部分面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）FG=4，t=；（2）S=．

【解析】

試題分析：（1）利用矩形的性質(zhì)和勾股定理易得FG，利用相似三角形的性質(zhì)可得BG的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出t的值；（2）①如圖1，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式求得結(jié)論；②如圖2，當(dāng)2＜t≤時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；③如圖3，當(dāng)＜t≤8時(shí)，S=4④當(dāng)8＜t≤10時(shí)根據(jù)兩三角形的面積差即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）在矩形ABCD中，AB=6，BD=10，∴由勾股定理得：BC=8，∵在Rt△EFG中，GE+AB=BC，F(xiàn)G=2GE．∴FG=4 ，當(dāng)點(diǎn)F恰好經(jīng)過BD時(shí)，∵∠FGE=90°，∠C=90°，∴FG∥DC，∴△BFG∽△BCD，∴，∴BG=，∴BE=，∴當(dāng)點(diǎn)F恰好經(jīng)過BD時(shí)，t=．（2）①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如圖1，∵MN∥CD，∴三角形BMN相似三角形BCD，三角形MNE相似三角形FGE，設(shè)MN=x,則BN=，NE=0.5x,則BE=x=t，∴MN=，S=t2，②當(dāng)2＜t≤時(shí)，如圖2，S=﹣t2+t﹣，

③當(dāng)＜t≤8時(shí)，如圖3，S=4，

④當(dāng)8＜t≤10時(shí)，如圖4，S=﹣t2+16t﹣60，

，綜上可知S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=．