【題目】如圖所示,梯形ABCD中,ABDC,∠B=90°,AD=15,AB=16,BC=12,點(diǎn)E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F是射線CD上一點(diǎn),射線ED和射線AF交于點(diǎn)G,且∠AGE=∠DAB

1)求線段CD的長(zhǎng);

2)如果△AEC是以EG為腰的等腰三角形,求線段AE的長(zhǎng);

3)如果點(diǎn)F在邊CD上(不與點(diǎn)CD重合),設(shè)AE=x,DF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出x的取值范圍

【答案】(1)7;(2)15或;(3)

【解析】

試題分析:(1)作DH⊥AB于H,如圖1,易得四邊形BCDH為矩形,則DH=BC=12,CD=BH,再利用勾股定理計(jì)算出AH,從而得到BH和CD的長(zhǎng);

(2)分類(lèi)討論:當(dāng)EA=EG時(shí),則∠AGE=∠GAE,則判斷G點(diǎn)與D點(diǎn)重合,即ED=EA,作EM⊥AD于M,如圖1,則AM=AD=,通過(guò)證明Rt△AME∽R(shí)t△AHD,利用相似比可計(jì)算出此時(shí)的AE長(zhǎng);當(dāng)GA=GE時(shí),則∠AGE=∠AEG,可證明AE=AD=15,(3)作DH⊥AB于H,如圖2,則AH=9,HE=AE﹣AH=x﹣9,先利用勾股定理表示出DE=,再證明△EAG∽△EDA,則利用相似比可表示出EG=,則可表示出DG,然后證明△DGF∽△EGA,于是利用相似比可表示出x和y的關(guān)系.

試題解析:(1)作DH⊥AB于H,如圖1,易得四邊形BCDH為矩形,∴DH=BC=12,CD=BH,在Rt△ADH中,AH===9,∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7,∴CD=7;

(2)當(dāng)EA=EG時(shí),則∠AGE=∠GAE,∵∠AGE=∠DAB,∴∠GAE=∠DAB,∴G點(diǎn)與D點(diǎn)重合,即ED=EA,作EM⊥AD于M,如圖1,則AM=AD=,∵∠MAE=∠HAD,∴Rt△AME∽R(shí)t△AHD,∴AE:AD=AM:AH,即AE:15=:9,解得AE=;

當(dāng)GA=GE時(shí),則∠AGE=∠AEG,∵∠AGE=∠DAB,而∠AGE=∠ADG+∠DAG,∠DAB=∠GAE+∠DAG,∴∠GAE=∠ADG,∴∠AEG=∠ADG,∴AE=AD=15,綜上所述,△AEC是以EG為腰的等腰三角形時(shí),線段AE的長(zhǎng)為或15;

(3)作DH⊥AB于H,如圖2,則AH=9,HE=AE﹣AH=x﹣9,在Rt△ADE中,DE==,∵∠AGE=∠DAB,∠AEG=∠DEA,∴△EAG∽△EDA,∴EG:AE=AE:ED,即EG:x=x:,∴EG=,∴DG=DE﹣EG=,∵DF∥AE,∴△DGF∽△EGA,∴DF:AE=DG:EG,即y:x=():,∴(9<x<).

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