Question

如圖，矩形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AE交CD于G，交BC延長線于F，∠DAE=∠DCE，∠AEB=∠CEB．
（1）求證：矩形ABCD是正方形；
（2）若AE=2EG，求EG與GF之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),正方形的判定

專題：

分析：（1）證明△ADE≌△CDE，得出AD=CD，證出矩形ABCD是正方形；
（2）證明△ECG∽△EFC，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，求出GF=3EG．

解答：證明：（1）∵∠AEB=∠CEB，∠ADE=∠CDE，
∴∠DAE=∠DCE，
在△ADE和△CDE中，

∠ADE=∠CDE   ∠DAE=∠DCE   DE=DE

，
∴△ADE≌△CDE（AAS），
∴AD=CD，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）GF=3EG；
∵△ADE≌△CDE，
∴AE=CE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BF，∴∠DAE=∠F，
∵∠DAE=∠DCE，
∴∠DCE=∠F，
又∵∠GEC=∠CEF，
∴△ECG∽△EFC，
∴

CE

EF

=

EG

CE

，
∵AE=2EG，
∴CE=2EG，
∴

2EG

EF

=

EG

2EG

，
∴EF=4EG，
∴GF=3EG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及正方形的判定；證明三角形全等和三角形相似是關(guān)鍵．