Question

已知兩直線l₁，l₂分別經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（﹣3，0），并且當(dāng)兩直線同時(shí)相交于y軸正半軸的點(diǎn)C時(shí)，恰好有l(wèi)₁⊥l₂，經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的對稱軸與直線l₁交于點(diǎn)K，如圖所示．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出拋物線的函數(shù)解析式；
（2）拋物線的對稱軸被直線l₁，拋物線，直線l₂和x軸依次截得三條線段，問這三條線段有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（3）當(dāng)直線l₂繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M，請找出使△MCK為等腰三角形的點(diǎn)M，簡述理由，并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

KD=DE=EF；點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為（﹣2，），（﹣1，）時(shí)，
△MCK為等腰三角形.      

試題分析：（1）解法1：由題意易知：△BOC∽△COA，
∴，即，∴，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，），                           2分
由題意，可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為，
把A（1，0），B（﹣3，0）的坐標(biāo)分別代入，
得，解這個(gè)方程組，得，
∴拋物線的函數(shù)解析式為． .4分
（2）解法1：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF．
理由如下：
可求得直線l₁的解析式為，
直線l₂的解析式為，
拋物線的對稱軸為直線x=-1，                                 6分
由此可求得點(diǎn)K的坐標(biāo)為（﹣1，），
點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，0）.
∴KD=，DE=，EF=，
∴KD=DE=EF．                                                8分
（3）當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為（﹣2，），（﹣1，）時(shí)，△MCK為等腰三角形．
理由如下：
（i）連接BK，交拋物線于點(diǎn)G，易知點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣2，），

又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），則GC∥AB，
∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK為正三角形，
∴△CGK為正三角形
∴當(dāng)l₂與拋物線交于點(diǎn)G，即l₂∥AB時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為（﹣2，），            10分
（ii）連接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC為等腰三角形，
∴當(dāng)l₂過拋物線頂點(diǎn)D時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn)M₂坐標(biāo)為（﹣1，）， .12分
（iii）當(dāng)點(diǎn)M在拋物線對稱軸右邊時(shí)，只有點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，滿足CM=CK，
但點(diǎn)A、C、K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形，
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為（﹣2，），（﹣1，）時(shí)，
△MCK為等腰三角形.      
點(diǎn)評(píng)：解答本題的的關(guān)鍵是熟練掌握有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；兩組邊對應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似