Question

如圖，在銳角△ABC中，AC是最短邊，以AC中點(diǎn)O為圓心，AC為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)E，過O作OD∥BC交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)AE，AD，DC．求證：
（1）D是

AE

的中點(diǎn)；
（2）∠DAO=∠B+∠BAD．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理得到∠AEC=90°，則AE⊥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得OD⊥AE，然后根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F′，如圖，根據(jù)圓周角定理由弧AD=弧E得∠ACD=∠F′CD，而∠ADC=90°，則CD⊥AF′，根據(jù)等腰三角形的判定得到△CAF為等腰三角形，則∠CAF′=∠AF′C，而∠AF′C=∠B+∠BAF′，于是∠CAF′=∠B+∠BAF′．

解答：解：（1）∵AC是直徑，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，
而OD∥BC，
∴OD⊥AE，
∴OD平分弧AE，
即點(diǎn)D是弧AE的中點(diǎn)；
（2）延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F′，如圖，
∵弧AD=弧ED，
∴∠ACD=∠FCD，
∵AC為直徑，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AF′，
∴△CAF′為等腰三角形，
∴CA=CF′，
∴∠CAF′=∠AF′C，
而∠AF′C=∠B+∠BAF′，
∴∠CAF′=∠B+∠BAF′，
即∠DAO=∠B+∠BAD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了垂徑定理和等腰三角形的判定與性質(zhì)．