Question

【題目】在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如圖1，若在△ABC中，∠C=90°，則AC2+BC2＝AB2．我們定義為“商高定理”．

（1）如圖1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，試求AC＝__________；

（2）如圖2，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD．試證明：AB2+CD2＝AD2+BC2；

（3）如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊BC和斜邊AB為邊向外作正方形BCFG和正方形ABED，連結(jié)CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．

Answer 1

【答案】（1）AC＝3; （2）見解析；（3）73.

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理求出AC即可；

（2）在Rt△DOA中根據(jù)勾股定理有OD2+OA2＝AD2，同理有OD2+OC2＝CD2，OB2+OC2＝BC2，OA2+OB2＝AB2，又AB2+ CD2＝OA2+OB2+ OD2+OC2，AD2+ BC2＝OD2+OA2+ OB2+OC2

即可證明AB2+ CD2＝AD2+ BC2；

（3）連接CG、AE，根據(jù)∠GBC=∠EBA=900得∠ABG=∠EBC，則證明△ABG≌△EBC，則∠1＝∠2 ，∠3＝∠4，由（2）可知AC2+GE2＝CG2+AE2，則可求出CG2、AE2 、AC2從而求出GE2.

解：（1）在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5

∴AC＝=3

（2）在Rt△DOA中，∠DOA＝900，

∴OD2+OA2＝AD2

同理：OD2+OC2＝CD2

OB2+OC2＝BC2

OA2+OB2＝AB2

∵AB2+ CD2＝OA2+OB2+ OD2+OC2

AD2+ BC2＝OD2+OA2+ OB2+OC2

∴AB2+ CD2＝AD2+ BC2

（3）∵∠GBC=∠EBA=900

∴∠GBC+∠CBA=∠EBA+∠CBA

∴∠ABG=∠EBC

如圖1，在△ABG和△EBC中

∴△ABG≌△EBC（SAS）

∴如圖2，∠1＝∠2 ，∠3＝∠4

∴∠5＝∠AIJ＝900

∴AG⊥CB

連接CG、AE，

由（2）可知

AC2+GE2＝CG2+AE2

在Rt△CBG中，CG2＝BC2+BG2

CG2＝42+42＝32

在Rt△ABE中，AE2＝BE2+AB2

AE2＝52+52＝50

在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2

52＝AC2+42

AC2＝9

∴AC2+GE2＝CG2+AE2

9+ GE2＝32+50

GE2＝73