Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，DF平分∠ADC，交邊BC于F，若以點(diǎn)D為圓心，DC長(zhǎng)為半徑作弧，交邊AD于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)EF、BE、EC．
（1）求證：EF=CF；
（2）若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷線段BE和EC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),梯形

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）由DF為角平分線得到一對(duì)角相等，再由半徑相等得到ED=CD，以及DF=DF，利用SAS得到三角形EDF與三角形CDF全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）線段BE與EC垂直，理由為：由F為BC中點(diǎn)，得到BF=EF=CF，利用等邊對(duì)等角得到兩對(duì)角相等，利用三角形內(nèi)角和定理及等式性質(zhì)變形即可得證．

解答：解：（1）∵DF平分∠ADC，
∴∠EDF=∠CDF，
由半徑相等得到ED=CD，
在△EDF和△CDF中，

ED=DC ∠EDF=∠CDF DF=DF

，
∴△EDF≌△CDF（SAS），
∴EF=CF；
（2）線段BE和EC的位置關(guān)系是垂直，理由為：
∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，
∴BF=CF=EF，
∴∠EBF=∠BEF，∠FEC=∠ECF，
∵∠EBF+∠BEF+∠FEC+∠ECF=180°，
∴∠BEF+∠FEC=90°，
∴BE⊥EC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．