Question

已知直線與拋物線交于點(diǎn)A（1，），與軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）把（1）中的拋物線向右平移2個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位（＞0），拋物線與軸交于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)C、P、Q三點(diǎn)的圓恰好以CQ為直徑，求的值；

（3）如圖，把拋物線向右平移2個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位（＞0），拋物線與軸交于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)C、P、Q三點(diǎn)的圓的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值和此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），C（0，-1）；（2）；（3）最小值為，    

【解析】

試題分析：（1）把A（1，）分別代入直線與拋物線，即可求得結(jié)果；

（2）先根據(jù)平移的特征得到平移后的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角即可得到結(jié)果；

（3）先設(shè)出平移后拋物線的解析式，不難得出平移后拋物線的對(duì)稱軸．因此過(guò)C、P、Q三點(diǎn)的圓的圓心必在對(duì)稱軸上，要使圓的面積最小，那么圓心到C點(diǎn)的距離也要最小，即兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，即可得到圓的半徑，求出圓心的坐標(biāo)．可設(shè)出平移后的拋物線的解析式，表示出PQ的長(zhǎng)，如果設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E，那么可表示出PE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可確定平移的距離．

（1）把A（1，）分別代入直線與拋物線，

可得，，

∴拋物線的解析式為，直線的解析式為，

在中，當(dāng)時(shí)，，

∴C的坐標(biāo)為（0，-1）；

（2）設(shè)平移后的拋物線函數(shù)關(guān)系式為，

由題意得，此時(shí)拋物線的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，0），

則，解得；

（3）設(shè)平移后的拋物線函數(shù)關(guān)系式為，

令，則，

∵過(guò)C、P、Q三點(diǎn)的圓的圓心一定在直線x=2上，點(diǎn)C為定點(diǎn)，

∴要使圓的面積最小，圓的半徑應(yīng)等于點(diǎn)C到直線x=2的距離，此時(shí)，半徑為2，面積為，

設(shè)圓心為O，PQ的中點(diǎn)為E，連接OE，OP．

在三角形CEM中，

，

，解得，

∴當(dāng)時(shí)，過(guò)C、P、Q三點(diǎn)的圓的面積最小，最小面積為.

考點(diǎn)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是注意平移不改變二次項(xiàng)的系數(shù)；拋物線的平移，看頂點(diǎn)的平移即可；左右平移，只改變頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，左減右加；上下平移，只改變頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，上加下減．