Question

如圖①，已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．

（1）求證：EG=CG；
（2）如圖②所示，當(dāng)點(diǎn)F與BC的延長線相交時，判斷EG與CG的關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，EG=

1

2

DF，CG=

1

2

DF，所以EG=CG．
（2）當(dāng)點(diǎn)F與BC的延長線相交時，EG=CG，根據(jù)（1）的證明思路即可證明成立．

解答：（1）證明：∵EF⊥BD，
∴△DEF為直角三角形，
∵G為DF中點(diǎn)，
∴EG=

1

2

DF，（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
在正方形ABCD中，∠BCD=90°，
又G為DF中點(diǎn)，
∴CG=

1

2

DF，（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴EG=CG；
（2）當(dāng)點(diǎn)F與BC的延長線相交時，EG=CG，
理由如下：∵EF⊥BD，
∴△DEF為直角三角形，
∵G為DF中點(diǎn)，
∴EG=

1

2

DF，
在正方形ABCD中，∠BCD=90°，
∴∠DCF=90°，
又∵G為DF中點(diǎn)，
∴CG=

1

2

DF，
∴EG=CG．

點(diǎn)評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．