Question

圖1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y與x滿足的反比例函數(shù)關(guān)系如圖2所示，等腰直角三角形AEF的斜邊EF過C點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．當(dāng)x=3時(shí)，EC＜EM
B．當(dāng)y=9時(shí)，EC＞EM
C．當(dāng)x增大時(shí)，EC•CF的值增大
D．當(dāng)y增大時(shí)，BE•DF的值不變

Answer 1

【答案】分析：由于等腰直角三角形AEF的斜邊EF過C點(diǎn)，則△BEC和△DCF都是直角三角形；觀察反比例函數(shù)圖象得反比例解析式為y=；當(dāng)x=3時(shí)，y=3，即BC=CD=3，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得CE=3，CF=3，則C點(diǎn)與M點(diǎn)重合；當(dāng)y=9時(shí)，根據(jù)反比例函數(shù)的解析式得x=1，即BC=1，CD=9，所以EC=，而EM=3；由于EC•CF=x（6-x）配方得到-2（x-3）²+18，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)0＜x＜3時(shí)，EC•CF的值隨x的增大而增大；利用等腰直角三角形的性質(zhì)BE•DF=BC•CD=xy，然后再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得BE•DF=9，其值為定值．
解答：解：因?yàn)榈妊�直角三角形AEF的斜邊EF過C點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，所以△BEC和△DCF都是直角三角形；
觀察反比例函數(shù)圖象得x=3，y=3，則反比例解析式為y=；
當(dāng)x=3時(shí)，y=3，即BC=CD=3，所以CE=BC=3，CF=CD=3，C點(diǎn)與M點(diǎn)重合，則EC=EM，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)y=9時(shí)，x=1，即BC=1，CD=9，所以EC=，而EM=3，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)镋C•CF=x（6-x）=-2（x-3）²+18，所以當(dāng)0＜x＜3時(shí)，EC•CF的值隨x的增大而增大，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)锽E•DF=BC•CD=xy=9，即BE•DF的值不變，所以D選項(xiàng)正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象：先根據(jù)幾何性質(zhì)得到與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的兩變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用函數(shù)解析式和函數(shù)性質(zhì)畫出其函數(shù)圖象，注意自變量的取值范圍．