Question

在半徑為R的半圓O內(nèi)，畫出兩個正方形ABCD和正方形DEFG，使得A、D、E都在直徑M、N上，B、F都在弧上．（1）如圖①，當C、G重合時，求兩個正方形的面積和S；
（2）如圖②，當點C在弧上時，求兩個正方形的面積和；
（3）如圖③，探究：兩個正方形ABCD和DEFG的面積和S是否為定值？若為定值，求出這個定值；若不為定值，求S的最大值和最小值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)正方形的邊長AB=AD=CD=DE=a，由于MN是直徑得出∠MBN是直角，然后根據(jù)射影定理即可證得；
（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為a，根據(jù)已知條件，OA=OD=DE=

a

2

，然后根據(jù)射影定理即可證得；
（3）分別設(shè)出兩個正方形的邊長，連接OB，OF，在直角三角形中運用勾股定理表示AO，OE的長，把這兩邊的長與正方形的邊長聯(lián)系，得到等量關(guān)系，然后把得到的定理關(guān)系通過兩邊平方化簡，求出兩個正方形的面積的和．

解答：解：（1）如圖①連接MB、NB，
∵D為圓的圓心，MN是直徑，
∴∠MBN=90°，
∴AB²=AM•AN，
設(shè)正方形的邊長為a，
∴AM=R-a，AN=R+a，
∴a²=（R-a）（R+a）=R²-a²，
∴2a²=R²，
∴S=R²，

（2）如圖②，連接MB、NB，
同①AB²=AM•AN，
∵OA=OD=DE=

a

2

，
∴AM=R-

a

2

，AN=R+

a

2

，
∴a²=（R-

a

2

）（R+

a

2

）=R²-（

a

2

）²，
∴a²+（

a

2

）²=R²，
∴S=R²；

（3）是定值；
證明：如圖③，連接OB，OF，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，正方形EFGD的邊長為b，
則OA=

R2-a2

，OE=

R2-b2

，而OD=AD-AO=OE-DE
∴有：a-

R2-a2

=

R2-b2

-b得到：

R2-a2

+

R2-b2

=a+b，
兩邊平方得：R²-a²+2

R2-a2

•

R2-b2

+R²-b²=a²+2ab+b²
整理得：

R2-a2

•

R2-b2

=a²+b²+ab-R²
兩邊再次平方得：R⁴-（a²+b²）R²+a²b²=（a²+b²+ab）²-2（a²+b²+ab）R²+R⁴，
整理得：a²+b²=R²．
所以兩個正方形的面積之和為一定值，這個值就是R²．

點評：本題考查的是垂徑定理，射影定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，③連接OB，OF，得到兩個直角三角形，根據(jù)勾股定理用二次根式表示OE，OA的長，然后由正方形的邊長找到等量關(guān)系，通過兩次兩邊平方確定根號，得到兩個正方形的面積和與半徑R的關(guān)系是本題的關(guān)鍵和難點．