Question

如圖，直線l：y=-

4

3

x+4與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B．將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′OB′，直線A′B′交l于點(diǎn)C．
（1）求A′、B′兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線A′B′的解析式．
（2）求△A′BC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)

專題：

分析：（1）先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出A′、B′的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線A′B′的解析式即可；
（2）直接根據(jù)A′、B、C的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答： 解：（1）∵令x=0，則y=4，令y=0，則x=3，
∴A（3，0），B（0，4），
由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，A′（ 0，-3），B′（ 4，0），
設(shè)過(guò)A′（ 0，-3），B′（ 4，0）的解析式為y=kx+b（k≠0）
則

b=-3 4k+b=0

，
解得

b=-3 k= 3 4

．
故此直線的解析式為：y=

3

4

x-3；

（2）∵過(guò)A′，B′兩點(diǎn)的解析式為：y=

3

4

x-3，
∴

y= 3 4 x-3 y=- 4 3 x+4

，
解得

x= 84 25 y=- 12 25

，
∴C（

84

25

，-

12

25

），
∴S_△A’BC=

1

2

|A′B|×x_C=

1

2

×7×

84

25

=

294

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)的圖象與及幾何變換、一次函數(shù)的性質(zhì)及三角形的面積公式，根據(jù)題意求出直線A′B′的解析式是解答此題的關(guān)鍵．