Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AC=AB，∠DAC=30度．點E、F是梯形ABCD外的兩點，且∠EAB=∠FCB，∠ABC=∠FBE，∠CEB=30°．
（1）求證：BE=BF；
（2）若CE=5，BF=4，求線段AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AC=AB，∠DAC=30°．可知∠BAC=60°，因為AB=AC，所以△ABC為等邊三角形，可證△ABE≌△CBF，從而得出結論；
（2）連接EF，由（1）知△ABC為等邊三角形，∠ABC=60°，易證△EBF為等邊三角形，∠CEF=90°，在Rt△CEF中，CF²=CE²+EF²=CE²+BF²，CF=，又由（1）△ABE≌△CBF知，AE=CF．故AE=．
解答：（1）證明：∵梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，
∴∠DAB=90°，且∠DAC=30°，
∴∠BAC=60°．
∵AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形．
∴AB=BC，
又∵∠ABC=∠FBE，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中
∴△ABE≌△CBF，
∴BE=BF；

（2）連接EF．
由（1）知△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=60°．
又∵∠ABC=∠FBE，
∴∠FBE=60°，
∵BE=BF，
∴△EBF為等邊三角形，
∴∠BEF=60°，EF=BF，
∵∠CEB=30°，
∴∠CEF=90°，
∴在Rt△CEF中，CF²=CE²+EF²=CE²+BF²，
∵CE=5，BF=4，
∴CF=．
又由（1）△ABE≌△CBF知，AE=CF，
∴AE=．
點評：本題考查的是全等三角形的判定定理，等邊三角形的性質及勾股定理，需同學們熟練掌握．