Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P為線(xiàn)段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn)A、D重合），以BP為直徑在BP的右側(cè)作半圓O，與邊BC交于點(diǎn)K，邊點(diǎn)O作OF∥AD，且與CD相交于點(diǎn)F，與半圓O相交于點(diǎn)E，連接KE，設(shè)AP=x，半圓O的面積為S，
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形OBKE為菱形？
（2）試求出S與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，CD與半圓相切？并求出此時(shí)S的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）由于OE∥BK，根據(jù)平行四邊形的判定方法，當(dāng)OE=BK時(shí)，四邊形OBKE為平行四邊形，加上OB=OE，則此時(shí)四邊形OBKE為菱形，連接OK，如圖，易得△OBK為等邊三角形，則∠OBK=60°，∠ABP=30°，在Rt△ABP中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到x=

3

3

AB=

4 3

3

；
（2）在Rt△ABP中，根據(jù)勾股定理得PB²=AP²+AB²=x²+16，然后根據(jù)圓的面積公式得到S=

1

2

•π•（

PB

2

）²=

π

8

x²+2π；
（3）由于OF∥PD∥BC，則OF為梯形PBCD的中位線(xiàn)，所以O(shè)F=

1

2

（PD+BC）=4-

1

2

x，再根據(jù)OF⊥CD，根據(jù)切線(xiàn)的判定定理，當(dāng)OF=

1

2

BP時(shí)，CD與半圓相切，所以BP=2OF=8-x，在Rt△ABP中利用勾股定理得（8-x）²=x²+4²，解得x=3，然后把x=3代入（2）中的函數(shù)關(guān)系式中計(jì)算出對(duì)應(yīng)的S的值．

解答：解：（1）∵OE∥BK，
∴當(dāng)OE=BK時(shí)，四邊形OBKE為平行四邊形，
而OB=OE，
∴此時(shí)四邊形OBKE為菱形，
連接OK，如圖，
∵OB=BK=OK，
∴△OBK為等邊三角形，
∴∠OBK=60°，
∴∠ABP=30°，
在Rt△ABP中，∵AP=x，AB=4，
∴x=

3

3

AB=

4 3

3

；
（2）在Rt△ABP中，∵PB²=AP²+AB²=x²+4²=x²+16，
∴S=

1

2

•π•（

PB

2

）²=

1

2

π•

1

4

（x²+16）=

π

8

x²+2π；
（3）∵OF∥PD∥BC，
而OP=OB，
∴OF為梯形PBCD的中位線(xiàn)，
∴OF=

1

2

（PD+BC）=

1

2

（4-x+4）=4-

1

2

x，
∵OF⊥CD，
∴當(dāng)OF=

1

2

BP時(shí)，CD與半圓相切，
∴BP=2OF=2（4-

1

2

x）=8-x，
在Rt△ABP中，∵PB²=AP²+AB²，
∴（8-x）²=x²+4²，解得x=3，
即x為3時(shí)，CD與半圓相切；
此時(shí)S=

π

8

x²+2π=

π

8

×9+2π=

25

8

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A的切線(xiàn)的判定定理、菱形的判定方法、正方形的性質(zhì)和梯形的中位線(xiàn)性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算．