Question

（1）如圖，在等邊△ABC中，N為ABC中，N為BC邊上任意一點（不含B、C兩點），CM為等邊△ABC的外角∠ACK的平分線．若∠ANM=60°，求證：AN=NM．
（2）如圖，在等邊△ABC中，N為BC延長線上任意一點，CM為等邊△ABC的外角∠ACK的平分線，若∠ANM=60°，請問AN=NM是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的定義及已知條件∠ANM=60°得出∠ANM=∠ACM=60°，則A、N、C、M四點共圓，∠CAM=∠MNC，再利用SAS證明△ABN≌△ACM，得出AM=AN，又∠ANM=60°，則△AMN是等邊三角形，從而得出AN=NM；
（2）連接AM．先由等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的定義及已知條件∠ANM=60°得出∠ANM=∠ACM=60°，則A、C、N、M四點共圓，∠NAM=∠NCM=∠BAC=60°，再利用SAS證明△ABN≌△ACM，得出AM=AN，又∠ANM=60°，則△AMN是等邊三角形，從而得出AN=NM．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，AB=AC．
∵CM為等邊△ABC的外角∠ACK的平分線，
∴∠ACM=

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∠ACK=60°，
∴∠ANM=∠ACM=60°，
∴A、N、C、M四點共圓，
∴∠CAM=∠MNC．
∵∠MNC+∠ANB=120°，∠ANB+∠NAB=120°，
∴∠NAB=∠MNC=∠MAC，
又∵AB=AC，∠B=∠ACM=60°，
∴△ABN≌△ACM，
∴AM=AN，
∵∠ANM=60°，
∴△AMN是等邊三角形，
∴AN=NM；

（2）解：AN=NM仍然成立，理由如下：
連接AM．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC．
∵CM為等邊△ABC的外角∠ACK的平分線，
∴∠ACM=∠MCN=

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∠ACK=60°，
∴∠ANM=∠ACM=60°，
∴A、C、N、M四點共圓，
∴∠NAM=∠NCM=∠BAC=60°，
∴∠BAC+∠CAN=∠NAM+∠CAN，即∠BAN=∠CAM，
∵AB=AC，∠ABN=∠ACM=60°，
∴△ABN≌△ACM，
∴AN=AM，
∵∠ANM=60°，
∴△AMN是等邊三角形，
∴AN=NM．

點評：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，四點共圓的條件，全等三角形的判定與性質(zhì)，有一定難度．抓住兩個小題中的不變條件，得到相同的解題方法是解決第（2）小題的關(guān)鍵．