Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c交x軸于點A、B，交y軸于點C，其中點B坐標為（1，0），同時拋物線還經(jīng)過點（-2，3）
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在直線y=kx+n（k≠0）與拋物線交于點M、N，使y軸平分△CMN的面積？若存在，求出k、n應滿足的條件；若不存在，請說明理由；
（3）已知P為拋物線上一動點，當拋物線上有且只有3個點使得△ACP的面積為某一定值時，求點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點B（1，0），點（-2，3）代入拋物線y=-x²+bx+c求出b、c的值，進而可得出結(jié)論；
（2）假設存在滿足條件的直線y=kx+b（k≠0），聯(lián)立直線與拋物線的解析式得出關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)要使y軸平分△CMN的面積，則M、N兩點的橫坐標互為相反數(shù)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出k、n應滿足的條件；
（3）先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3，設與AC平行且與拋物線y=-x²-2x+3只有一個交點的直線記為l，則此唯一交點為P．利用待定系數(shù)法求得直線l的解析式為y=x+

21

4

，與y=-x²-2x+3聯(lián)立，求出方程組的解，得到點P₁的坐標；由于y=x+

21

4

向下平移

9

4

個單位得到y(tǒng)=x+3，所以將y=x+3向下平移

9

4

個單位得到y(tǒng)=x+

3

4

，與y=-x²-2x+3聯(lián)立，求出方程組的解，得到點P₂與P₃的坐標．

解答：解：（1）將點B（1，0），點（-2，3）代入拋物線y=-x²+bx+c中，得

-1+b+c=0 -4-2b+c=3

，
解得

b=-2 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；

（2）假設存在滿足條件的直線y=kx+n（k≠0）與拋物線交于點M、N，使y軸平分△CMN的面積．
由題意得，

y=kx+n① y=-x2-2x+3②

，
①-②得，x²+（k+2）x+n-3=0，③
要使y軸平分△CMN的面積，則M、N兩點的橫坐標互為相反數(shù)，
∴方程③滿足

x1+x2=0 △=(k+2)2-4(n-3)＞0

，
解得k=-2，n＜3，
即存在滿足條件的直線y=kx+n（k≠0），此時k=-2，n＜3；

（3）∵y=-x²-2x+3，
∴當y=0時，-x²-2x+3=0，
解得x=1或-3，
∵點B坐標為（1，0），
∴點A坐標為（-3，0）．
∵當x=0時，y=3，
∴點C坐標為（0，3）．
設直線AC的解析式為y=mx+t，
則

-3m+t=0 t=3

，
解得

m=1 t=3

，
∴直線AC的解析式為y=x+3．
設與AC平行且與拋物線y=-x²-2x+3只有一個交點的直線l為y=x+p，
將y=x+p代入y=-x²-2x+3，整理得x²+3x+p-3=0，
∵△=3²-4（p-3）=0，
∴p=

21

4

，
∴直線l的解析式為y=x+

21

4

．
由

y=x+ 21 4 y=-x2-2x+3

，
解得

x=- 3 2 y= 15 4

，
∴點P₁的坐標為（-

3

2

，

15

4

）；
∵y=x+

21

4

向下平移

9

4

個單位得到y(tǒng)=x+3，
∴將y=x+3向下平移

9

4

個單位得到y(tǒng)=x+

3

4

，
由

y=x+ 3 4 y=-x2-2x+3

，解得

x1= -3+3 2 2 y1= -3+6 2 4

，

x2= -3-3 2 2 y2= 3 2 2

，
∴點P₂的坐標為（

-3+3 2

2

，

-3+6 2

4

），點P₃的坐標為（

-3-3 2

2

，

3 2

2

）；
綜上所述，所求點P的坐標為P₁（-

3

2

，

15

4

），P₂（

-3+3 2

2

，

-3+6 2

4

），P₃（

-3-3 2

2

，

3 2

2

）．

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，直線平移的規(guī)律，兩函數(shù)交點坐標的求法等知識，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵．