Question

【題目】如圖，矩形ABCD，延長BC到G，連接GD．作∠BGD的平分線交AB于E．若EG＝DG，AD＝AE．

（1）求證：GE＝2BE；

（2）若EG＝4，求梯形ABGD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）12﹣2

【解析】

（1）根據(jù)已知證明△ADE是等腰直角三角形得∠AED＝45°，設(shè)∠BGE＝x，得∠BEG＝90°﹣x，∠DEG＝（180°﹣x），利用∠AED+∠DEG+∠BEG＝180°，即可求出x的度數(shù),利用30°角所對(duì)直角邊是斜邊一半即可解題.

（2）先求出∠CGD=60°,然后解直角三角形求出CD的長度,根據(jù)矩形的對(duì)邊相等求出AB的長度,在Rt△BGE中求出BE、BG的長度,然后求出AE,即可得到AD,然后利用梯形的面積公式列式計(jì)算即可得解.

（1）證明：如圖，連接DE，∵AD＝AE，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴∠AED＝45°，

設(shè)∠BGE＝x，

∵GE是∠BGD的平分線，

∴∠BGE＝∠DGE＝x，

在Rt△BGE中，∠BEG＝90°﹣x，

∵EG＝DG，

∴∠DEG＝（180°﹣x），

又∵∠AED+∠DEG+∠BEG＝180°，

∴45°+（180°﹣x）+90°﹣x＝180°，

解得x＝30°，

即∠BGE＝30°，

∴GE＝2BE；

（2）解：∵GE是∠BGD的平分線，

∴∠CGD＝∠BGE+∠DGE＝30°+30°＝60°，

∴CD＝DGsin60°＝4×＝2，

在Rt△BGE中，BE＝EG＝×4＝2，

BG＝EGcos30°＝4×＝2，

∴AD＝AE＝AB﹣BE＝2﹣2，

梯形ABGD的面積＝（AD+BG）CD＝（2﹣2+2）×2＝（4﹣2）＝12﹣2．