Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABC0的頂點(diǎn)O在原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），a、b是方程x²-4=0的兩個(gè)不同的根，點(diǎn)C在第一象限．
（1）求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，并直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）將?ABC0繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使OC落在y軸的正半軸上（如圖），得平行四邊形DEF0，EF與邊AB、x軸分別交于點(diǎn)G、H．
①求證：DE∥0C；
②記旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)平行四邊形重疊部分的面積為S，求S的值．

Answer 1

解：（1）方程x²-4=0的兩根為x₁=2，x₂=-2，
所以a=-2，b=2，
所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），
根據(jù)OA∥BC且OA=BC
可得C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）；

（2）①A（-2，0），B（0，2），可知∠BAO=∠C=45°，
∵OA∥BC，∴∠OBC=90°∠COB=45°，
將平行四邊形繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使OC落在Y軸上，正好旋轉(zhuǎn)的是45°，∠EDO=∠BOC=45°
∴DE∥OC．
②旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)平行四邊形重疊部分是直角梯形，
OA=2，OH=，AH=HG=2-，OB=2，
所以S=（2-+2）•=2-1．
分析：由方程x²-4=0可得兩根為x₁=2，x₂=-2，從而可得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由平行四邊形的對(duì)邊既平行且相等可寫出C點(diǎn)坐標(biāo)．將平行四邊形繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)OC就落在Y軸上，可知∠COB=∠EDO=45°，由內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可證明DE∥OC．旋轉(zhuǎn)前后兩平行四邊形重疊部分是直角梯形OHGB，HG=2-，OB=2，OH=，由梯形面積公式可求出S的值．
點(diǎn)評(píng)：在坐標(biāo)平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)圖形，用動(dòng)態(tài)的思想考查問題，可培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用的能力．