Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，AD=2，AB=，BC=4．動點G以每秒1個單位的速度，從點A出發(fā)沿AD向終點D運動，同時動點E以每秒2個單位的速度，從點B出發(fā)沿BC向終點C運動．過點E作EF⊥BC，交CD于點F，連接GE、GF．設(shè)運動時間為t秒．
（1）求∠BCD的度數(shù)；
（2）求證：GE∥DC；
（3）當(dāng)t為何值時，四邊形GECF是平行四邊形．

Answer 1

【答案】分析：（1）過B點作BH⊥DC，垂足為H，由已知條件可證明四邊形ABHD是矩形，BH=AD=2，在Rt△BHC中，BH=2，BC=4，進而求出∠BCD的度數(shù)；
（2）過E點作AB的垂線，交AB的延長線于K，證明四邊形AKEG是矩形，由矩形的性質(zhì)即可得到GE∥DC；
（3）由（1）、（2）可知∠EBK=30°，GE∥DC∥AB，四邊形AKEG為矩形，我也GE∥DC，所以當(dāng)FC=GE時，四邊形GECF是平行四邊形，即=+t，解得：t=，
所以當(dāng)t=時，四邊形GECF是平行四邊形．
解答：解：（1）過B點作BH⊥DC，垂足為H，
∵AB∥DC，∠A=90°，
∴∠D=∠A=∠BHD=90°，
∴四邊形ABHD是矩形，
∴BH=AD=2，
在Rt△BHC中，BH=2，BC=4，
∴∠BCD=30°；

（2）過E點作AB的垂線，交AB的延長線于K，
∴EK∥AG，
∵AB∥DC，∠C=30°，
在Rt△BEK中，BE=2t，∠CBK=30°，
∴EK=t，
又∵AG=t，
∴四邊形AKEG是矩形，
∴GE∥DC；

（3）由（1）、（2）可知∠EBK=30°，GE∥DC∥AB，四邊形AKEG為矩形，
∵BE=2t，
∴BK=2tcos30°=t，
∴AK=GE=AB+BK=+t，
∵EF⊥BC，∠C=30°，
∴FC===，
∵GE∥DC，
∴當(dāng)FC=GE時，四邊形GECF是平行四邊形，
即=+t，
解得：t=，
∴當(dāng)t=時，四邊形GECF是平行四邊形．
點評：本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)：30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半、特殊角的銳角三角函數(shù)值以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性很好，難度中等．