Question

如圖，直線分別交x軸、y軸于點A、C，已知P是該直線在第一象限內的一點，PB⊥x軸于點B，S_△APB=9．
（1）求△AOC的面積；
（2）求點P的坐標；
（3）設點R與點P在同一反比例函數的圖象上，且點R在直線PB的右側，作RT⊥x軸于點T，是否存在點R使得△BRT與△AOC相似，若存在，求點R的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）A（-4，0），C（0，2），
△AOC的面積為4；

（2）∵△AOC∽△ABP，
∴設PB=a，AB=2a，
∵S_△APB=a×2a=9，
解得a=±3（舍負）
即PB=3、AB=6 P的坐標為（2，3）．

（3）由P（2，3）得反比例函數為．
當△RBT∽△ACO時，，
設BT=m，則RT=2m，R（2+m，2m），
代入得，m₁=-3（舍），m₂=1，R（3，2）．
當△RBT∽△CAO時，
同理得：BT=2RT，設RT=n，BT=2n，得：R（2+2n，n），
代入得：（舍去負值），
R（+1，）．
分析：（1）分別令x=0以及y=0求出點A，C的坐標．從而求出△AOC的面積．
（2）證明△AOC∽△ABP，設PB=a，AB=2a，已知S_△APB=9，求出a值后可求出點P的坐標．
（3）設△RBT∽△ACO，利用線段比求出R點坐標，RT，BT．當△RBT∽△CAO得出RT=n，BT=2n，R（2+2n，n）然后代入y=求解．
點評：本題考查的是一次函數的應用，相似三角形的判定等相關知識，綜合性較強，難度中上．