Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosA=

4

5

，點(diǎn)P、Q分別是邊AB、AC（端點(diǎn)除外）上的動(dòng)點(diǎn)，AP：CQ=5：4，聯(lián)結(jié)PQ．
（1）當(dāng)△APQ和△ABC相似時(shí)，求AP的長(zhǎng)；
（2）聯(lián)結(jié)PC、BQ，如果BQ⊥PC，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）分2種情況討論①PQ∥BC時(shí)，②PQ不平行于BC時(shí)，分別證明即可；
（2）過(guò)P作PE⊥AC于E，可證△BCQ∽△PCE，即可求得AP的值，即可解題．

解答：解：（1）∵Rt△ABC中，cosA=

4

5

，AB=10，
∴BC=6，AC=8，
①當(dāng)PQ∥BC時(shí)，當(dāng)AP：CQ=5：4，AP：CQ=5：4，
∴P、Q分別為AB，AC中點(diǎn)；AP=5，
②當(dāng)PQ不平行于BC，△APQ∽△ABC時(shí)，

AP

AC

=

AQ

AB

，

AP

AQ

=

4

5

，
∵AP：CQ=5：4，
∴AQ：CQ=25：16，
此時(shí)PA=8

20

41

，
∴當(dāng)AP=5或8

20

41

時(shí)，△APQ∽△ABC．
（2）過(guò)P作PE⊥AC于E．

∵BQ⊥PC∠C=90°，
∴∠CBQ=∠PCE，
∵∠BCQ=∠CEP=90°，
∴△BCQ∽△PCE，
∴PE：CQ=CE：BC，
∵AP=5x   AE=PA×cosA=4x∴PE=3x，
CE=AC-AE=8-4x，
∴3x：4x=（8-4x）：6，
∴x=

7

8

AP=5×

7

8

=

35

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)．