Question

如圖，四邊形ABDC中，∠ABD=∠BCD=Rt∠，AB=AC，AE⊥BC于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)E．且BD=15，CD=9．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AE方向向E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q，連接FQ，設(shè)AP=x，（x＞0）．
（1）求證：BC•BE=AC•CD．
（2）設(shè)四邊形ACDP的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．
（3）是否存在點(diǎn)P，使△PQF為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)條件由兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似就可以由相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)論，
（2）由條件根據(jù)勾股定理求出AB的值，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)就可以求出CF的值，由AE∥CD可以得出四邊形ACDP的形狀為梯形或平行四邊形，由其民間公式就可以求出結(jié)論；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)分類討論就可以求出結(jié)論．
解答：解：（1）∵∠ABD=∠BCD=Rt∠，AF⊥BC
∴AE∥CD
∴∠AEB=∠D
∴△ABE～△BCD
∴AB：BC=BE：CD  
∵AB=AC
∴BC•BE=AC•CD； 

（2）∵BD=15，CD=9
∴CB==12
∵AB=AC，AF⊥BC
∴BF=FC=6
∵AE∥CD
∴BE=ED=BD=，△ABE∽△BCD
∴
∴，
∴AB=10
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
 AF=
==8
∵AE∥CD
∴四邊形ACDP是平行四邊形或梯形

=
=3x+27（0＜x＜12.5）

（3）∵點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AE方向向E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)
∴P在線段AE上，
當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí)，使△PQF為等腰三角形，只有PQ=PF．
∵∠AQP=∠AFB∠QAP=∠FAB
∴△QAP～△FAB
∴，
∴，
∴PQ=x
∵PF=8-x
∴x=8-x
∴x=5；
當(dāng)P在FE上時(shí)，使△PQF為等腰三角形，有：
①PQ=PF 
∵PQ=x，F(xiàn)P=x-8
∴x=x-8
∴x=20＞AE=12.5（舍去），
②PQ=FQ
作高線QG，則PG=PF=（x-8）
∵△PQG～△BAF，
∴，
∴，
∴x=＞AE=12.5（舍去）
③PF=FQ
∴∠FQP=∠FPQ，
∵∠AQP=90°．
∴∠FAQ+∠FPQ=∠FQA+∠FQP=90°
∴∠FAQ=∠FQA
∴AF=FQ=PF
∴8=x-8，
∴x=16＞AE=12.5（舍去）．
∴當(dāng)x=5時(shí)，△PQF為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用及四邊形的面積的運(yùn)用，解答時(shí)利用相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例求線段的長(zhǎng)度是關(guān)鍵．