Question

如圖，已知AC，BD是半徑為R的圓的兩條平行切線，A，B為切點，CD切⊙O于點E，交AC于點C，交BD于點D，求證：AC•BD為定值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接OC、OD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AC，OB⊥BD，而AC∥BD，則可判斷點O、A、B共線，再利用切線的性質(zhì)和切線長定理由CD切⊙O于點E得到
∴OE⊥CD，CE=CA，DE=DB，于是可根據(jù)角平分線的逆定理得CO平分∠AOE，DO平分∠BOE，則∠1=∠2，∠3=∠4，易得∠1+∠3=90°，即∠DOC=90°，
然后證明Rt△OCE∽Rt△DOE，利用相似比得CE•DE=OE²，所以AC•BD=OE²．

解答：證明：連接OC、OD，如圖，
∵AC，BD是⊙O的兩條切線，A，B為切點，
∴OA⊥AC，OB⊥BD，
∵AC∥BD，
∴OA⊥BD，
∴點O、A、B共線，即AB為⊙O的直徑，
∵CD切⊙O于點E，
∴OE⊥CD，CE=CA，DE=DB，
∴CO平分∠AOE，DO平分∠BOE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
而∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠3=90°，即∠DOC=90°，
∵∠3+∠ODE=90°，
∴∠1=∠ODE，
∴Rt△OCE∽Rt△DOE，
∴CE：OE=OE：DE，
∴CE•DE=OE²，
∴AC•BD=OE²，
而OE為⊙O的半徑，
∴AC•BD為定值．

點評：本題考查了圓的切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了切線長定理、角平分線定理的逆定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．