Question

如圖Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點P為BC上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),垂線段最短,勾股定理,平行四邊形的性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，由平行四邊形的性質(zhì)可知O是AC中點，PQ最短也就是PO最短，所以應(yīng)該過O作BC的垂線P′O，然后根據(jù)△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出PQ的最小值．

解答：解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=

AC2+AB2

=5，
∵四邊形APCQ是平行四邊形，
∴PO=QO，CO=AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴過O作BC的垂線OP′，
∵∠ACB=∠P′CO，∠CP′O=∠CAB=90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴

CO

BC

=

OP′

AB

，
∴

2

5

=

OP′

3

，
∴OP′=

6

5

，
∴則PQ的最小值為2OP′=

12

5

，
故答案為：

12

5

．

點評：本題考查了勾股定理的運(yùn)用、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是做高線各種相似三角形．