Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l₁和l₂相交于點(diǎn)A，它們的解析式分別為l₁：，l₂：．直線l₂與兩坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)P在線段OB上從點(diǎn)O出發(fā)．以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒4個(gè)單位的速度沿B→O→C→B的方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作直線PM⊥OB分別交l₁，l₂于點(diǎn)M，N．連接MQ．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)Q在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求t為何值時(shí)，四邊形MNCQ為平行四邊形；
（3）試探究是否存在某一時(shí)刻t，使MQ∥OB？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）將兩直線解析式聯(lián)立得：，
解得：，
∴A（，）；

（2）∵PM⊥x軸，y軸⊥x軸，
∴PM∥CQ，
當(dāng)PM=CQ時(shí)，四邊形MNCQ為平行四邊形，
對(duì)于直線l₂：y=-x+，令x=0，求出y=；令y=0，求出x=5，
∴B（5，0），C（0，），即OB=5，OC=，
∴CQ=OC-OQ=-（4t-5）=-4t，
∵OP=t，∴M與N橫坐標(biāo)為t，
∴MN=PN-PM=-t+-t=-t+，
∴-4t=-t+，
解得：t=，
則當(dāng)t=秒時(shí)，四邊形MNCQ為平行四邊形；

（3）①當(dāng)點(diǎn)Q在OC上時(shí)，如圖2，CQ=+5-4t，MP=t，
根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：+5-4t=-t+-t，
解得：t=，
②當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，如圖3：
在△BOC中，
sin∠OBC==，MP=t，QB=20-4t，
點(diǎn)Q到x軸的距離=QBsin∠OBC=（20-4t），
點(diǎn)Q到x軸的距離為MP，即t=（20-4t），
解得：t=，
綜上所述：當(dāng)t=或t=時(shí)，MQ∥OB．
分析：（1）將兩直線解析式聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解即可得到A的坐標(biāo)；
（2）由PM垂直于x軸，y軸垂直于x軸，得到MN與QC平行，當(dāng)MN=QC時(shí)，四邊形MNCQ為平行四邊形，MN=NP-MP，由OP=t，得到M與N的橫坐標(biāo)都為t，分別代入兩直線方程中，表示出出NP與MP，得到MN，由Q走過的路程減去OB得到OQ的長，再由OC-OQ表示出QC，列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到滿足題意t的值；
（3）分別根據(jù)①當(dāng)點(diǎn)Q在OC上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，平行四邊形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，屬于動(dòng)點(diǎn)問題，是近幾年中考的熱點(diǎn)試題．