Question

如圖所示，已知拋物線y=x²-4x+3與x軸交于A，B兩點，C為拋物線的頂點，過點A作AP∥BC交拋物線于點P．
（1）求A，B，C三點坐標(biāo)；
（2）求四邊形ACBP的面積；
（3）在x軸上方的拋物線上是否存在點M，過點M作ME⊥x軸于點E，使A，M，E三點為頂點的三角形與△PCA相似？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）讓y=0可得拋物線與x軸的2個交點坐標(biāo)；整理二次函數(shù)解析式為頂點式可得拋物線的頂點C的坐標(biāo)；
（2）易得AP的解析式，與拋物線解析式組成方程組，可得P的坐標(biāo)，S_{四邊形ACBP}=S_△ABP+S_△ACB，把相關(guān)數(shù)值代入計算即可；
（3）易得A，M，E三點為頂點的三角形和△PAC均為Rt△，用二次函數(shù)解析式設(shè)出所求點的坐標(biāo)，根據(jù)三角形中不同的兩直角邊的對應(yīng)邊成比例可得M可能的坐標(biāo)．

解答：解：（1）①y=x²-4x+3令y=0，則x²-4x+3=0，
即x₁=1，x₂=3，
故點A的坐標(biāo)為（1，0），點B的坐標(biāo)為（3，0），
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的頂點C的坐標(biāo)為（2，-l）；

（2）∵過B，C兩點的直線為y=x-3，AP∥BC，
∴設(shè)直線AP為y=x+b，
又∵點A的坐標(biāo)為（1，0），
∴直線AP為y=x-1，②
由①②可知點P的坐標(biāo)為（4，3），
所以，S_{四邊形ACBP}=S_△ABP+S_△ACB=

1

2

×2×3+

1

2

×2×1=4；

（3）存在，點M的坐標(biāo)為M₁（0，3），M₂（

10

3

，

7

9

），M₃（6，15）．
由（1）（2）易知AP=3

2

，AC=

2

，PC=2

5

，
∴AP²+AC²=PC²，
∴△PAC為Rt△，且∠PAC=90°，
∵M(jìn)E⊥x 軸，
∴以A，M，E三點為頂點的三角形也是Rt△，且∠MEA=90°，
假設(shè)點M是在x軸上方的拋物線上，設(shè)M為（a，a²-4a+3 ）且（a＜1或a＞3），
要使Rt△PAC和Rt△MEA相似，則有
①Rt△PAC∽Rt△AEM，得

PA

AE

=

AC

EM

，
②Rt△PAC∽Rt△MEA，得

PA

EM

=

AC

AE

，
而AE=|1-a|，ME=a²-4a+3，由①得|1-a|=3（a²-4a+3），
解之a1=

8

3

（舍去），a₂=1 （舍去），a3=

10

3

，a₄=1（舍去），
再由②得3|1-a|=3（a²-4a+3），
解之，a₅=0，a₆=1 （舍去），a₇=6，a₈=1（舍去），
綜上所述：存在點M的坐標(biāo)，即為M₁（0，3），M₂（

10

3

，

7

9

），M₃（6，15）．

點評：綜合考查相似三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的知識；分情況探討直角三角形相似的兩種情況是解決本題的易錯點；把所求三角形的面積分成合適的兩個三角形的面積的和是常用的解題思路．