Question

如圖，拋物線C1：y=（x+m）2（m為常數(shù)，m＞0），平移拋物線y=﹣x2，使其頂點D在拋物線C1位于y軸右側(cè)的圖象上，得到拋物線C2．拋物線C2交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，設(shè)點D的橫坐標為a．

 

（1）如圖1，若m=．

①當OC=2時，求拋物線C2的解析式；

②是否存在a，使得線段BC上有一點P，滿足點B與點C到直線OP的距離之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；

（2）如圖2，當OB=2﹣m（0＜m＜）時，請直接寫出到△ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點的坐標（用含m的式子表示）．

 

Answer 1

(1) ①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．

【解析】

試題分析：（1）①首先寫出平移后拋物線C2的解析式（含有未知數(shù)a），然后利用點C（0，2）在C2上，求出拋物線C2的解析式；

②認真審題，題中條件“AP=BP”意味著點P在對稱軸上，“點B與點C到直線OP的距離之和最大”意味著OP⊥BC．畫出圖形，如圖1所示，利用三角函數(shù)（或相似），求出a的值；

（2）解題要點有3個：

i）判定△ABD為等邊三角形；

ii）理論依據(jù)是角平分線的性質(zhì)，即角平分線上的點到角兩邊的距離相等；

iii）滿足條件的點有4個，即△ABD形內(nèi)1個（內(nèi)心），形外3個．不要漏解．

試題解析：（1）當m=時，拋物線C1：y=（x+）2．

∵拋物線C2的頂點D在拋物線C1上，且橫坐標為a，

∴D（a，（a+）2）．

∴拋物線C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2 （I）．

①∵OC=2，∴C（0，2）．

∵點C在拋物線C2上，

∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，

解得：a=，代入（I）式，

得拋物線C2的解析式為：y=﹣x2+x+2．

②在（I）式中，

令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；

令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有：

，解得，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+（a+）．

假設(shè)存在滿足條件的a值．

∵AP=BP，

∴點P在AB的垂直平分線上，即點P在C2的對稱軸上；

∵點B與點C到直線OP的距離之和≤BC，只有OP⊥BC時等號成立，

∴OP⊥BC．

如圖1所示，設(shè)C2對稱軸x=a（a＞0）與BC交于點P，與x軸交于點E，

則OP⊥BC，OE=a．

∵點P在直線BC上，

∴P（a，a+），PE=a+．

∵tan∠EOP=tan∠BCO=，

∴，

解得：a=．

∴存在a=，使得線段BC上有一點P，滿足點B與點C到直線OP的距離之和最大且AP=BP

（3）∵拋物線C2的頂點D在拋物線C1上，且橫坐標為a，

∴D（a，（a+m）2）．

∴拋物線C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．

令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．

∵OB=2﹣m，

∴2a+m=2﹣m，

∴a=﹣m．

∴D（﹣m，3）．

AB=OB+OA=2﹣m+m=2．

如圖2所示，設(shè)對稱軸與x軸交于點E，則DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．

∵tan∠ABD=，

∴∠ABD=60°．

又∵AD=BD，∴△ABD為等邊三角形．

作∠ABD的平分線，交DE于點P1，則P1E=BE•tan30°=×=1，

∴P1（﹣m，1）；

在△ABD形外，依次作各個外角的平分線，它們相交于點P2、P3、P4．

在Rt△BEP2中，P2E=BE•tan60°=•=3，

∴P2（﹣m，﹣3）；

易知△ADP3、△BDP4均為等邊三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x軸．

∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．

綜上所述，到△ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點有4個，

其坐標為：P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．

【考點】二次函數(shù)綜合題．