Question

閱讀下列材料：
在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），則P₁、P₂兩點(diǎn)間的距離為

(x1-x2)2+(y1-y2)2

．例如：若
P₁（3，4）、P₂（0，0），則P₁、P₂兩點(diǎn)間的距離為

(3-0)2+(4-0)2

=5．
設(shè)⊙O是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓，如果點(diǎn)P（x，y）在⊙O上，那么有等式

x2+y2

=1，即x²+y²=1成立；反過來，如果點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足等式x²+y²=1，那么點(diǎn)P必在⊙O上，這時(shí)，我們就把等式x²+y²=1稱為⊙O的方程．
在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P₀（x₀，y₀），則P₀到直線y=kx+b的距離為

|kx0-y0+b|

1+k2

．
請解答下列問題：
（I）寫出以原點(diǎn)O為圓心，以r（r＞0）為半徑的圓的方程．
（II）求出原點(diǎn)O到直線y=

(1-n2)x

2n

-

1+n2

2n

的距離．
（III）已知關(guān)于x、y的方程組：

y= (1-n2)x 2n - 1+n2 2n …(1) x2+y2=m…(2)

，其中n≠0，m＞0．
①若n取任意值時(shí)，方程組都有兩組不相同的實(shí)數(shù)解，求m的取值范圍．
②當(dāng)m=2時(shí)，記兩組不相同的實(shí)數(shù)解分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
求證：(x1-y1)2+(x2-y2)2是與n無關(guān)的常數(shù)，并求出這個(gè)常數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（I）仿照題意，可列出以原點(diǎn)O為圓心，以r（r＞0）為半徑的圓的方程，表示到原點(diǎn)（0，0）距離是r的點(diǎn)；
（II）由點(diǎn)P₀（x₀，y₀）到直線y=kx+b的距離公式為

|kx0-y0+b|

1+k2

，代入公式即可求解；
（III）①x²+y²=m，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑是

m

的圓，y=

(1-n2)x

2n

-

1+n2

2n

表示直線，當(dāng)直線與y軸的交點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑時(shí)，方程組都有兩組不相同的實(shí)數(shù)解，由此求m的取值范圍；
②(x1-y1)2+(x2-y2)2表示：兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離，兩交點(diǎn)之間的線段就是圓的直徑，據(jù)此即可判斷．

解答：解：（I）以原點(diǎn)O為圓心，以r（r＞0）為半徑的圓的方程是：x²+y²=r²；
（II）k=

1-n2

2n

，
則求出原點(diǎn)O到直線y=

(1-n2)x

2n

-

1+n2

2n

的距離是：

|- 1+n2 2n |

1+( 1-n2 2n )2

=1；
（III）①∵1+n²≥2n，則

1+n2

2n

≥

2n

2n

≥1，
即直線y=

(1-n2)x

2n

-

1+n2

2n

與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)一定在（0，1）和（0，-1）之間．
x²+y²=m，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑是

m

的圓．
∵方程組都有兩組不相同的實(shí)數(shù)解，
∴

m

＞1，
∴m＞1；
②證明：∵(x1-y1)2+(x2-y2)2表示：兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離，兩交點(diǎn)之間的線段就是圓的直徑．
∴(x1-y1)2+(x2-y2)2=2

m

，則與n的值無關(guān)，
∴次常數(shù)為2

m

．

點(diǎn)評：本題是閱讀理解的問題，關(guān)鍵是理解題目敘述的意義，能從圖形的觀點(diǎn)認(rèn)識方程，方程組，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法．