Question

在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=3.6cm（如圖1）．動點P，Q同時從點B出發(fā)，點P沿BA，AD，DC運動到點C停止，點Q沿BC運動到點C停止，兩點運動時的速度都是1cm/s，而當(dāng)點P到達(dá)點A時，點Q正好到達(dá)點C．設(shè)P，Q同時從點B出發(fā)，經(jīng)過的時間為t（s）時，△BPQ的面積為y（cm²）（如圖2）．分別以t，y為橫、縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，已知點P在AD邊上從A到D運動時，y與t的函數(shù)圖象是圖3中的線段MN．

（1）分別求出梯形中BA，AD的長度；
（2）分別寫出點P在BA邊上和DC邊上運動時，y與t的函數(shù)關(guān)系式（注明自變量的取值范圍），并在圖3中補全整個運動中y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系的大致圖象．
（3）問：是否存在這樣的t，使PQ將梯形ABCD的面積恰好分成1：6的兩部分？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由于點P在AD運動時，點Q在C點，利用函數(shù)圖象和三角形面積公式得到

1

2

×BC×3.6=10.8，解得BC=6，而當(dāng)點P到達(dá)點A時，點Q正好到達(dá)點C，所以AB=BC=6，作AH⊥BC于H，如圖1，在Rt△ABH中，利用勾股計算出BH=4.8，則CH=BC-BH=1.2，所以BA，AD的長度分別為6cm，1.2cm；
（2）分類討論：當(dāng)點P在BA上時，根據(jù)三角形面積公式得到y(tǒng)=

1

2

•t•t•sinB，再利用正弦的定義得到y(tǒng)=

1

2

•t²•

3.6

6

=

3

10

t²（0≤t≤6）；當(dāng)點P在DC上時，根據(jù)三角形面積公式得到y(tǒng)=-3t+32.4（7.2≤t≤10.8）；然后畫出對應(yīng)的函數(shù)圖象；
（3）分類討論：當(dāng)0≤t≤6，利用S_△BPQ=

1

7

S_梯形ABCD得到

3

10

t²=

1

7

×

1

2

×（1.2+6）×3.6，解得t=

6 210

35

；利用S_△BPQ=

6

7

S_梯形ABCD得到

3

10

t²=

6

7

×

1

2

×（1.2+6）×3.6，解得t=

36 35

35

（不合題意舍去）；當(dāng)6＜t≤7.2時，利用S_△CPQ=

1

7

S_梯形ABCD得到

1

2

×（7.2-t）×3.6=

1

7

×

1

2

×（1.2+6）×3.6，解得t=

216

35

；當(dāng)7.2＜t≤10.8，PQ不可能把梯形ABCD．

解答：解：（1）點P在AD邊上從A到D運動時，點Q在C點，
根據(jù)函數(shù)圖象得到S_△PBQ=

1

2

•BC•CD=10.8，
∴

1

2

×BC×3.6=10.8，
∴BC=6，
∵當(dāng)點P到達(dá)點A時，點Q正好到達(dá)點C，
∴AB=BC=6，
作AH⊥BC于H，如圖1，在Rt△ABH中，AB=6，AH=CD=3.6，BH=

AB2-AH2

=4.8，
∴CH=BC-BH=1.2，
∴AD=1.2，
即BA，AD的長度分別為6cm，1.2cm；

（2）當(dāng)點P在BA上時，y=

1

2

•t•t•sinB=

1

2

•t²•

AH

AB

=

1

2

•t²•

3.6

6

=

3

10

t²（0≤t≤6）；
當(dāng)點P在DC上時，y=

1

2

×6×（6+1.2+3.6-t）=-3t+32.4（7.2≤t≤10.8）；
如圖3；
（3）存在．
當(dāng)0≤t≤6，
若S_△BPQ=

1

7

S_梯形ABCD，則

3

10

t²=

1

7

×

1

2

×（1.2+6）×3.6，解得t=

6 210

35

；
若S_△BPQ=

6

7

S_梯形ABCD，則

3

10

t²=

6

7

×

1

2

×（1.2+6）×3.6，解得t=

36 35

35

（不合題意舍去）；
當(dāng)6＜t≤7.2時，S_△CPQ=

1

7

S_梯形ABCD，則

1

2

×（7.2-t）×3.6=

1

7

×

1

2

×（1.2+6）×3.6，解得t=

216

35

；
當(dāng)7.2＜t≤10.8，PQ不可能把梯形ABCD的面積恰好分成1：6的兩部分，
所以t的值為

6 210

35

或

216

35

．

點評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握梯形的性質(zhì)；會畫二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象以及從函數(shù)圖象上獲取信息；能運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題和把動點的問題轉(zhuǎn)化為定點問題．