【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖),已知拋物線y=x2-2x,其頂點為A.
(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點A的坐標(biāo),并說明它的變化情況;
(2)我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點叫做這條拋物線的“不動點”
①試求拋物線y=x2-2x的“不動點”的坐標(biāo);
②平移拋物線y=x2-2x,使所得新拋物線的頂點B是該拋物線的“不動點”,其對稱軸與x軸交于點C,且四邊形OABC是梯形,求新拋物線的表達(dá)式.
【答案】(l)拋物線y=x2-2x的開口向上,頂點A的坐標(biāo)是(1,-1),拋物線的變化情況是:拋物線在對稱軸左側(cè)的部分是下降的,右側(cè)的部分是上升的;(2)①(0,0)、(3,3); ②新拋物線的表達(dá)式是y=(x+1)2-1.
【解析】
(1),故該拋物線開口向上,頂點
的坐標(biāo)為
;
(2)①設(shè)拋物線“不動點”坐標(biāo)為,則
,即可求解;②新拋物線頂點
為“不動點”,則設(shè)點
,則新拋物線的對稱軸為:
,與
軸的交點
,四邊形
是梯形,則直線
在
軸左側(cè),而點
,點
,則
,即可求解.
(l),
拋物線y=x2-2x的開口向上,頂點A的坐標(biāo)是(1,-1),
拋物線的變化情況是:拋物線在對稱軸左側(cè)的部分是下降的,右側(cè)的部分是上升的.
(2)①設(shè)拋物線y=x2-2x的“不動點”坐標(biāo)為(t,t).
則t=t2-2t,解得t1=0,t2=3.
所以,拋物線y=x2-2x的“不動點”的坐標(biāo)是(0,0)、(3,3).
②∵新拋物線的頂點B是其“不動點”,∴設(shè)點B的坐標(biāo)為(m,m)
∴新拋物線的對稱軸為直線x=m,與x軸的交點為C(m,0)
∵四邊形OABC是梯形,
∴直線x=m在y軸左側(cè).
∵BC與OA不平行
∴OC∥AB.
又∵點A的坐標(biāo)為(1,一1),點B的坐標(biāo)為(m,m),
m=-1.
∴新拋物線是由拋物線y=x2-2x向左平移2個單位得到的,
∴新拋物線的表達(dá)式是y=(x+1)2-1.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知BD為正方形ABCD的對角線,P、Q兩點分別在AB、BD上,且滿足∠PCQ=∠ABD.
(1)求:的值;
(2)由于四邊形不具穩(wěn)定性,把正方形ABCD沿D向右拉動,使∠BAD=120時,此時線段CD、DQ、BP有何數(shù)量關(guān)系,請說明理由.
(3)如圖3,在(2)的條件下,延長CQ交AD邊于點E交BA的延長線于點M,作∠DCE的平分線交AD邊于點F,若CQ:PM=5:7,EF= a,求線段CD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面圖形,點
、
是
上任意兩點,我們把線段
的長度的最大值稱為平面圖形
的“寬距”.例如,正方形的寬距等于它的對角線的長度.
(1)寫出下列圖形的寬距:
①半徑為的圓:________;
②如圖,上方是半徑為的半圓,下方是正方形的三條邊的“窗戶形“:________;
(2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點、
,
是坐標(biāo)平面內(nèi)的點,連接
、
、
所形成的圖形為
,記
的寬距為
.
①若,用直尺和圓規(guī)畫出點
所在的區(qū)域并求它的面積(所在區(qū)域用陰影表示);
②若點在⊙
上運動,⊙
的半徑為
,圓心
在過點
且與
軸垂直的直線上.對于⊙
上任意點
,都有
,直接寫出圓心
的橫坐標(biāo)
的取值范圍.
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【題目】如圖,點E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA(不包括端點)上運動,且滿足,
.
(1)求證:;
(2)試判斷四邊形EFGH的形狀,并說明理由.
(3)請?zhí)骄克倪呅?/span>EFGH的周長一半與矩形ABCD一條對角線長的大小關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l: 與x軸.y軸交于B,A兩點,點D,C分別為線段AB,OB的中點,連結(jié)CD,如圖,將△DCB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角
,如圖.
(1)連結(jié)OC,AD,求證∽
;
(2)當(dāng)0°<<180°時,若△DCB旋轉(zhuǎn)至A,C,D三點共線時,求線段OD的長;
(3)試探索:180°<<360°時,是否還有可能存在A,C,D三點共線的情況,若存在,求出此直線的表達(dá)式;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,AB=6,BC=10,AB⊥AC,點P從點B出發(fā)沿著B→A→C的路徑運動,同時點Q從點A出發(fā)沿著A→C→D的路徑以相同的速度運動,當(dāng)點P到達(dá)點C時,點Q隨之停止運動,設(shè)點P運動的路程為x,y=PQ2,下列圖象中大致反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是( �。�
A. B.
C. D.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,E、F分別為BC、CD的中點,連接AE,BF交于點G,將△BCF沿BF對折,得到△BPF,延長FP交BA延長線于點Q,下列結(jié)論正確的個數(shù)是( )
①AE=BF;②AE⊥BF;③sin∠BQP=;④S四邊形ECFG=2S△BGE.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【題目】已知:點D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線上一點(不與點B重合),連接AD.
(1)如圖1,當(dāng)點D在線段BC上時,將線段AD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,連接CE.求證:BD=CE,BD⊥CE;
(2)如圖2,當(dāng)點D在線段BC延長線上時,將線段AD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,連接CE.請畫出圖形。上述結(jié)論是否仍然成立,并說明理由;
(3)根據(jù)圖2,請直接寫出AD、BD、CD三條線段之間的數(shù)量關(guān)系。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形ABCD在第一象限內(nèi),邊BC與x軸平行,A,B兩點的縱坐標(biāo)分別為4,2,反比例函數(shù)y(x>0)的圖象經(jīng)過A,B兩點,若菱形ABCD的面積為2
,則k的值為( �。�
A. 2B. 3C. 4D. 6
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