【題目】如圖,直線l:y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn),拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)經(jīng)過點(diǎn)B.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個動點(diǎn),并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi),連接AM、BM,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,△ABM的面積為S,求S與m的函數(shù)表達(dá)式,并求出S的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)S取得最大值時,動點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M′.將直線l繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到直線l′,當(dāng)直線l′與直線AM′重合時停止旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,直線l′與線段BM′交于點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2,當(dāng)d1+d2最大時,求直線l′旋轉(zhuǎn)的角度(即∠BAC的度數(shù)).
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)S=﹣(m﹣)2+,(3)45°
【解析】
(1)利用直線l的解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo),再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出a的值;
(2)設(shè)M的坐標(biāo)為(m,﹣m2+2m+3),然后根據(jù)面積關(guān)系將△ABM的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化;
(3)由(2)可知m=,代入二次函數(shù)解析式即可求出縱坐標(biāo)的值,從而得到M′的坐標(biāo),然后將求d1+d2最大值轉(zhuǎn)化為求AC的最小值即可.
解:(1)令x=0代入y=﹣3x+3,
∴y=3,
∴B(0,3),
把B(0,3)代入y=ax2﹣2ax﹣3a,
∴3=﹣3a,
∴a=﹣1,
∴二次函數(shù)解析式為:y=﹣x2+2x+3;
(2)令y=0代入y=﹣x2+2x+3,
∴0=﹣x2+2x+3,
∴x=﹣1或3,
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣1和3,
∵M(jìn)在拋物線上,且在第一象限內(nèi),
∴0<m<3,
令y=0代入y=﹣3x+3,
∴x=1,
∴A的坐標(biāo)為(1,0),
由題意知:M的坐標(biāo)為(m,﹣m2+2m+3),連接OM
S=S四邊形OAMB﹣S△AOB
=S△OBM+S△OAM﹣S△AOB
=×m×3+×1×(﹣m2+2m+3)﹣×1×3
=﹣(m﹣)2+,
∴當(dāng)m=時,S取得最大值.
(3)由(2)可知:M′的坐標(biāo)為(,);
過點(diǎn)M′作直線l1∥l′,過點(diǎn)B作BF⊥l1于點(diǎn)F,
根據(jù)題意知:d1+d2=BF,
此時只要求出BF的最大值即可,
∵∠BFM′=90°,
∴點(diǎn)F在以BM′為直徑的圓上,
設(shè)直線AM′與該圓相交于點(diǎn)H,
∵點(diǎn)C在線段BM′上,
∴F在優(yōu)弧上,
∴當(dāng)F與M′重合時,
BF可取得最大值,
此時BM′⊥l1,
∵A(1,0),B(0,3),M′(,),
∴由勾股定理可求得:AB=,M′B=,M′A=,
過點(diǎn)M′作M′G⊥AB于點(diǎn)G,
設(shè)BG=x,
∴由勾股定理可得:M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2,
∴﹣(﹣x)2=﹣x2,
∴x=,
cos∠M′BG==,
∵l1∥l′,
∴∠BCA=90°,
∠BAC=45°;
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(1)參加征文比賽的學(xué)生共有 人;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)在扇形統(tǒng)計圖中,表示等級的扇形的圓心角為__ 圖中 ;
(4)學(xué)校決定從本次比賽獲得等級的學(xué)生中選出兩名去參加市征文比賽,已知等級中有男生一名,女生兩名,請用列表或畫樹狀圖的方法求出所選兩名學(xué)生恰好是一名男生和一名女生的概率.
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【題目】某商場購進(jìn)了一批名牌襯衫,平均每天可售出件,每件盈利元為了盡快減少庫存,商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施.調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果這種襯衫的售價每降低元,那么該商場平均每天可多售出件.
(1)若該商場計劃平均每天盈利元,則每件襯衫應(yīng)降價多少元?
(2)該商場平均每天盈利能否達(dá)到元?
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【題目】某種小商品的成本價為10元/kg,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量w(kg)與銷售價x(元/kg)有如下關(guān)系w=﹣2x+100,設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為y(元).
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)售價定為多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?
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【題目】2016年,淘寶雙十一主場狂攬1207億!你貢獻(xiàn)了多少呢?很多老師要剁手,親,請不要剁手!網(wǎng)上購物已經(jīng)成為人們常用的一種購物方式,售后評價特別引人關(guān)注,如果你感覺買到的東西不好用,就退貨,就差評!
作為消費(fèi)者在網(wǎng)店購買某種商品后,對店家有“好評”、“中評”、“差評”三種評價,假設(shè)這三種評價是等可能的.
(1)張老師對一家網(wǎng)店銷售某種商品顯示的評價信息進(jìn)行了統(tǒng)計,并列出了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
利用圖中所提供的信息解決以下問題:
①張老師一共統(tǒng)計了 個評價;
②請將圖1補(bǔ)充完整;
③圖2中“差評”所占的百分比是 ;
(2)若甲、乙兩名消費(fèi)者在該網(wǎng)店購買了同一商品,請你用列表格或畫樹狀圖的方法幫助店主求一下兩人中至少有一個給“好評”的概率.
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