Question

【題目】如圖，矩形OABC放在以O為原點的平面直角坐標系中，A（3，0），C（0，2），點E是AB的中點，點F在BC邊上，且CF=1．

（1）點E的坐標為 ， 點F的坐標為；
（2）點E關于x軸的對稱點為E′，點F關于y軸的對稱點為F′，
①點E′的坐標為 ， 點F′的坐標為；
②求直線E′F′的解析式；
（3）若M為x軸上的動點，N為y軸上的動點，當四邊形MNFE的周長最小時，求出點M，N的坐標，并求出周長的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）（3,1）,（1,2）
（2）（3,﹣1）,F'（﹣1,2）
（3）解：如圖，∵E（3，1），F(xiàn)（1，2），

∴EF= ，

∵點E關于x軸的對稱點為E′，點F關于y軸的對稱點為F′，

∴連接E'F'和x軸交于M，和y軸交于N，此時四邊形MNFE的周長最小，

∴NF=NF'，ME=ME'，

∵E'（3，﹣1），F(xiàn)'（﹣1，2），

∴E'F'= =5，

∴四邊形MNFE的周長的最小值為NF+MN+ME+EF

=NF'+MN+ME'+EF=E'F'+EF=5+ ．

【解析】解：（1）∵A（3，0），C（0，2），

∴OA=3，OC=2，

∵四邊形OABC是矩形，

∴BC∥OA，OC∥AB，BC=OA=3，AB=OC=2，

∴B（3，2），

∵點E是AB的中點，

∴AE= AB=1，

∴E（3，1），

∵點F在BC上，且CF=1，

∴F（1，2），

所以答案是：（3，1），（1，2），

⑵①由（1）知，E（3，1），F(xiàn)（1，2），

∵點E關于x軸的對稱點為E′，點F關于y軸的對稱點為F′，

∴E'（3，﹣1），F(xiàn)'（﹣1，2），

所以答案是：（3，﹣1），F(xiàn)'（﹣1，2）；

②設直線E'F'的解析式為y=kx+b，

∴ ，

∴ ，

∴直線E'F'的解析式為y=﹣ x+ ；