Question

在△ABC中，∠A=40°：

（1）如圖（1）BO、CO是△ABC的內(nèi)角角平分線，且相交于點(diǎn)O，求∠BOC；
（2）如圖（2）BO、CO是△ABC的外角角平分線，且相交于點(diǎn)O，求∠BOC；
（3）如圖（3）BO、CO分別是△ABC的一內(nèi)角和一外角角平分線，且相交于點(diǎn)O，求∠BOC；
（4）根據(jù)上述三問的結(jié)果，當(dāng)∠A=n°時，分別可以得出∠BOC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系（只需寫出結(jié)論）．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，則2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根據(jù)角平分線的定義得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，則2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+

1

2

∠A．
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)可得到∠BOC=90°-

1

2

∠A；
（3）根據(jù)角平分線的定義得∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，由三角形外角的性質(zhì)有∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，則2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，即可得到∠BOC=

1

2

∠A；
（4）利用以上結(jié)論直接得出答案即可．

解答：解：（1）∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+

1

2

∠A．
當(dāng)∠A=40°，∠BOC=110°；

（2）∠OBC=

1

2

（∠A+∠ACB），∠OCB=

1

2

（∠A+∠ABC），
∠BOC=180°-∠0BC-∠OCB，
=180°-

1

2

（∠A+∠ACB）-

1

2

（∠A+∠ABC），
=180°-

1

2

∠A-

1

2

（∠A+∠ABC+∠ACB），
結(jié)論∠BOC=90°-

1

2

∠A．∠BOC=90°-

1

2

∠A．
當(dāng)∠A=40°，∠BOC=70°．

（3）∵∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，
∴∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，
∴2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，
∴2∠BOC=∠A，
即∠BOC=

1

2

∠A．
當(dāng)∠A=40°，∠BOC=20°；

（4）∠BOC=90°+

1

2

n；∠BOC=90°-

1

2

n；∠BOC=

1

2

n．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．