Question

（2010•撫順）如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）．過(guò)點(diǎn)A作AD∥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E．點(diǎn)M是四邊形OADE的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)F在y軸負(fù)半軸上，且F（0，-2）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式，并直接寫(xiě)出四邊形OADE的形狀；
（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q從C、F兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿CB、FA方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到O時(shí)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以P、Q、O、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；
（3）在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)N，使以B、C、F、N為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）三點(diǎn)，把三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)表達(dá)式中，聯(lián)立方程解出a、b、c．
（2）過(guò)M作MN⊥OE于N，則MN=2，由題意可知CP=FQ=t，當(dāng)0≤t＜2時(shí)，OP=6-t，OQ=2-t，列出S與t的關(guān)系式，當(dāng)t=2時(shí)，Q與O重合，點(diǎn)M、O、P、Q不能構(gòu)成四邊形，當(dāng)2＜t＜6時(shí)，連接MO，ME則MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，可證三角形全等，進(jìn)而計(jì)算出三角形面積．
（3）若B、C、F、N為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，則四邊形有兩邊平行，設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo)，分類(lèi)討論兩邊平行時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件，進(jìn)而求出N點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0），
∴c=4，
，
解得a=-，b=，c=4．
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+x+4．
四邊形OADE為正方形．

（2）連接MQ．
根據(jù)題意，可知OE=OA=4，OC=6OB=OF=2，
∴CE=2，
∴CO=FA=6，
∵運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，
∴CP=FQ=t，
過(guò)M作MN⊥OE于N，則MN=2，
當(dāng)0≤t＜2時(shí)，OP=6-t，OQ=2-t，
∴S=S_△OPQ+S_△OPM=（6-t）×2+（6-t）（2-t）=（6-t）（4-t），
∴S=t²-5t+12．
當(dāng)t=2時(shí)，Q與O重合，點(diǎn)M、O、P、Q不能構(gòu)成四邊形，
當(dāng)2＜t＜6時(shí)，連接MO，ME則MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，
∵FQ=CP=t，F(xiàn)O=CE=2，
∴OQ=EP，
∴△QOM≌△PEM，
∴四邊形OPMQ的面積S=S_△MOE=×4×2=4，
綜上所述，當(dāng)0≤t＜2時(shí)，S=t²-5t+12；當(dāng)2＜t＜6時(shí)，S=4．

（3）分三種情況：
①以BF為底邊時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作BF的平行線(xiàn)，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，5）；
②以CF為底邊時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作CF的平行線(xiàn)，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)N的坐標(biāo)為（5，）；
③以BC為底邊時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F作BC的平行線(xiàn)，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2+，-2）或（2-，-2）．
故在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)N₁（1，5），N₂（5，），N₃（2+，-2），N₄（2-，-2），
使以B、C、F、N為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查的知識(shí)點(diǎn)也很多，要求會(huì)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式，會(huì)運(yùn)用分別類(lèi)討論思想，此題有一定的難度，做題時(shí)不能粗心大意．