Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=5，BC=10，菱形PQRS的四個(gè)頂點(diǎn)P、Q、R、S分別在矩形的邊AB、BC、CD、DA上，設(shè)BP=x，菱形PQRS的面積為y那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為

y=x²-5x+

125

4

．

Answer 1

分析：由題意可知：菱形PQRS的面積=矩形ABCD的面積-4個(gè)直角三角形的面積，有條件可直接求出矩形ABCD的面積，通過(guò)作輔助線可以證明SD=BO，AS=QC，AP=RC，PB=DR，再利用x表示出四個(gè)小直角三角形的面積作差即可．

解答：解：連接SQ，PR，相交于點(diǎn)O，連接BD．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=5，AD=BC=10．
∵四邊形PQRS是菱形，
∴SO=QO，PO=RO
∴點(diǎn)O是菱形的中心，也是矩形的中心．
∴BD過(guò)點(diǎn)O，
∴△SOD≌△QOB，△POB≌△ROD
∴SD=BO，PB=DR，AS=QC，AP=RC，
設(shè)AS=a，SD=10-a，
∵BP=x，
∴DR=x，AP=RC=5-x，
∴a²+（5-x）²=（10-a）²+x²，
∴a=

15+2x

4

，
∴SD=BQ=

25-2x

4

，AS=QC=

15+2x

4

y=5×10-

15+2x 4  •(5-x)

2

×2-

25-2x 4 •x

2

×2，
y=x²-5x+

125

4

．
故答案為：y=x²-5x+

125

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用及二次函數(shù)的運(yùn)用．